Dado $0<x<1$ y $0 \le z \le 1-x$ ¿Por qué $\sqrt{z+x}-(1-\sqrt{x})\sqrt{\frac{z}{1-x}} \le \sqrt{x}$ ?

Question

Esto parece cierto, pero hasta ahora no he podido demostrarlo. ¿Alguna estimación inteligente que pueda utilizar?

Answer 1

Sea $x=\sin^2 \alpha$ y $z=\cos^2\beta$ donde $0<\alpha,\beta<\frac{\pi}{2}$ . Entonces la condición $0\le z\le1-x$ es equivalente a $\alpha\le\beta$ y la desigualdad se convierte en $$\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\beta}\le(1-\sin\alpha)\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}+\sin\alpha$$ que equivale a $$\cos^2\beta\le \frac{(1-\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}\cos^2\beta+2\frac{(1-\sin\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha}\cos\beta$$ o $$\frac{\cos^2\alpha-(1-\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}\cos\beta\le2\frac{(1-\sin\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha} \tag{1}$$ Observando que $$\cos^2\alpha-(1-\sin\alpha)^2=2\sin\alpha-2\sin^2\alpha=2\sin\alpha(1-\sin\alpha)>0$$ Así, (1) se convierte en $$\frac{2\sin\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos^2\alpha}\cos\beta\le2\frac{(1-\sin\alpha)\sin\alpha}{\cos\alpha}$$ que equivale a $$\cos\beta\le\cos\alpha.$$ Esto es cierto porque $\alpha\le\beta$ . Por tanto, la desigualdad es cierta. Hecho