$2.$ , Vamos,
$$\underline{\int}_0^1 f(x)dx,\quad\quad\bar{\int}_0^1 f(x)dx,$$
ser la parte inferior y superior de las integrales de Riemann de $f$$[0,1]$, respectivamente (para definiciones formales ver, por ejemplo, el comienzo del capítulo sobre la integral de Riemann en los Principios de Análisis Matemático por Rudin, creo que fue el capítulo $6$). Elija cualquier número natural $n$. Considere la posibilidad de particionamiento $[0,1]$ en intervalos de longitud $1/2^n$, ($[0,1/2^n]$, $[1/2^n,1/2^{n-1}]$, etc.). Debido a $f$ es el aumento en $[0,1]$,
$$L_n:=\sum_{i=1}^{2^n}f\left(\frac{i-1}{2^n}\right)\frac{1}{2^n}\leq \underline{\int}_0^1 f(x)dx \leq \bar{\int}_0^1 f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{2^n}f\left(\frac{i}{2^n}\right)\frac{1}{2^n}=:U_n.$$
Dejando $n$ tienden a infinito tenemos que
$$L_\infty:=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{2^n}f\left(\frac{i-1}{2^n}\right)\frac{1}{2^n}\leq \underline{\int}_0^1 f(x)dx \leq \bar{\int}_0^1 f(x)dx \leq \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{2^n}f\left(\frac{i}{2^n}\right)\frac{1}{2^n}=:U_\infty.$$
Vamos a tratar de calcular $L_\infty$. A truco para hacerlo es tener en cuenta que cualquier $1\leq i\leq 2^n$, $f\left(\frac{i-1}{2^n}\right)$ es una suma finita de términos de la forma $1/3^k$ donde $1\leq k \leq n$. Por lo tanto, podemos re-escribir $L_n$
$$L_n=\frac{1}{2^n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i}N_n\left(\frac{1}{3^i}\right).$$
donde $N_n(1/3^i)$ denota el número total de veces que el término $\frac{1}{3^i}$ aparece en la suma de $L_n$. Cada número $(i-1)/2^n$ contribuye a $\frac{1}{3^k}$ a la suma si y sólo si tiene un $1$ $k^{th}$ lugar de su binario expansiones. Por lo tanto, $N_n(1/3^k)$ es simplemente la cantidad total de números de la forma$(i-1)/2^n$,$1\leq i\leq 2^n$, $1$ $k^{th}$ lugar de sus binario expansiones. Dado que los números de dicho formulario son exactamente aquellos cuya binario expansiones de terminar después de $n$ lugares, $N_n(1/3^i)$ es simplemente el número de secuencias de ceros y unos de longitud $n-1$ ( $2^{n-1}$ ). Por lo tanto,
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i}N_n\left(\frac{1}{3^i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i}2^{n-1}=2^{n-1}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{3^i} =2^{n-2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right).$$
Así,
$$L_\infty=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)=\frac{1}{4}.$$
Ya que, por cualquier $n$, $U_n=L_n-f(0)/2^n+f(1)/2^n=L_n+1/2^n$, tenemos que $L_\infty=U_\infty$. Por lo tanto, $f$ es Riemann integrable con la integral de la $1/4$.
En caso de que ayuda con $1$, aquí es un conjunto en el que $f$ no está aún continua (y por tanto, ni diferenciable). Deje $A$ denota el conjunto de todos los números finitos representaciones binarias (el diádica fracciones contenidas en $[0,1]$). Es decir,
$$A:=\{0.a_1a_2a_3\dots\in[0,1]:a_m=1,\quad n>m\Rightarrow a_n=0\text{ for some }m\}.$$
Deje $a=0.a_1a_2a_3\dots\in A$ y deje $m$ denotar el último miembro de la expansión de la $a$ que es un uno. Para mostrar que $f$ es discontinua en a $a$ es suficiente para demostrar que para cualquier $N>m$ podemos encontrar un número $b=0.b_1b_2b_3\dots$ tal que
$$|a-b|\leq\frac{1}{2^N},\quad f(a)-f(b)\geq\frac{1}{2\cdot3^{m}}.$$
Para ello establezca $b_n=a_n$ para todos los $n<m$, $b_m=0$, $b_n=1$ para todos los $m<n<N$ $b_n=0$ para todos los otros $n$. A continuación,
$$a-b=\sum_{n=1}^m\frac{a_n}{2^n}-\left(\sum_{n=1}^{m-1}\frac{a_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^N\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{2^m}-2\left(\frac{1}{2^{m+1}}-\frac{1}{2^{N+1}}\right)=\frac{1}{2^N}.$$
Pero,
$$f(a)-f(b)=\sum_{n=1}^m\frac{a_n}{3^n}-\left(\sum_{n=1}^{m-1}\frac{a_n}{3^n}+\sum_{n=m+1}^N\frac{1}{3^n}\right)=\frac{1}{3^m}-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{3^{m+1}}-\frac{1}{3^{N+1}}\right)$$
$$=\frac{1}{2\cdot3^{m}}+\frac{1}{2\cdot3^N}\geq \frac{1}{2\cdot3^{m}}.$$
Esto es lo más lejos que yo tengo, aquí están algunas observaciones finales:
- $A$ es denso en $[0,1]$ pero tiene una medida de $0$.
- Hay un teorema que establece que la monotonía de la función es derivable en casi todas partes (véase el Teorema de 1.6.25 en aquí). Por lo tanto, hay un conjunto de medida cero disjunta de a $A$ que $f$ no es diferenciable. Sospecho que $A$ es de hecho el conjunto de puntos en que $f$ no es diferenciable, pero esto no es nada más que una corazonada (hágamelo saber si usted alguna vez la figura hacia fuera!).
