Puesta en forma estándar de la ecuación lineal ODE, demostración de la existencia de soluciones únicas

Question

Estoy trabajando en la demostración de la existencia y unicidad de una solución local para las EDO de la variedad Lienard. $$y'' + f(y)\,y' + g(y) = 0$$

Estoy tratando de poner esto en estándar $y' = f(t,y)$ sistema

Así que veo que si dejo $x = y'$ entonces puedo reordenar la ecuación así $x' = -f(y)\;x - g(y)$

Esto puede darnos una EDO de primer orden si consideramos $$y'= x$$ $$x' = -f(y)\;x - g(y)$$ para ser una EDO de 1er orden aceptable debido a que la ecuación de Lienard es autónoma.

Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea suficiente. Nuestro profesor insistió mucho en que usáramos una transformación, no una sustitución, y que cuando termináramos deberíamos tener un sistema independiente de $y(t)$ .

Obviamente buscando las ecuaciones de Lienard, puedo ver la transformación que necesito: $$x_1 = y$$ $$x_2 = y' + \int_0^y f(s)\;ds$$ y se deduce directamente de esto que mi sistema adecuado es $$d/dt\;x_1 = y' = x_2 - \int_0^y f(s)ds$$ $$d/dt\; x_2 = y'' + f(y)\;y' = -g(y)$$

Tengo dos preguntas:

1) ¿Por qué? $x_1 = y$ y $x_2 = y' + \int_0^y f(s)\;ds$ ? ¿Cuál es el razonamiento filosófico que subyace a esta elección?

Y

2) Después de establecer esta forma, ¿puedo proceder directamente a demostrar la existencia y unicidad de una solución con un teorema del punto fijo (Picard-Lindelof o apropiado) o hay algo más que deba hacer primero?

Answer 1

Si mira $$y'' +f(y)y' + g(y) = 0$$ entonces deberíamos notar que $$\dfrac{d}{dx}\int_0^y f(s) ds = f(y)y'$$ Este es un resultado del teorema fundamental del Cálculo. por lo que tenemos $$y'' + \dfrac{d}{dx}\int_0^y f(s) ds +g(y) = \dfrac{d}{dx}\left[y' + \int_0^y f(s) ds\right] +g(y) = 0$$ para que puedas ver la transformación que te gustaría llevar a cabo. Nota al margen: Pasé mucho tiempo de mi doctorado trabajando en estas ecuaciones y encontré algunas soluciones a formas específicas de $f(y)$ y $g(y)$

Answer 2

Existe una forma de transformar una ecuación de Lienard en una EDO de primer orden de tipo Abel. Empezar con $$y'' + f(y)y' + g(y) = 0.$$ Sea $u(y(t)) = y'(t)$ entonces la ecuación de Lienard se transforma en $$u\frac{du}{dy} + f(y)u + g(y)=0.$$ Si ahora consideramos una variable independiente $v=1/u$ llegamos a $$\frac{dv}{dy} = v^2 f(y) + v^3 g(y).$$