Hace poco un amigo me pidió que encontrara por cualquier medio los valores de las dos integrales siguientes.
$$ I=2\int_{-1}^{1}x^2 \sqrt{1-x^2}dx$$
$$ J=\int_{-1}^{1}(1-x^2) \sqrt{1-x^2}dx$$
Lo primero que se me ocurrió fue hacer una sustitución trigonométrica, pero me pareció que sería un poco lioso. Así que recurrí a la integración de contornos y utilicé el contorno del hueso del perro $C$ (donde los círculos de radio $\epsilon$ se centran en -1 y 1).
Para $I$ esto dio:
$$\begin{align*} 0=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\lim_{R\rightarrow\infty}\oint_{C}z^2 \sqrt{1-z^2}dz&=I+2\pi i \cdot Res_{z=\infty}\left ( z^2\sqrt{1-z^2}\right ) \\ &=I+2\pi i \cdot Res_{z=0}\left ( -\frac{\sqrt{1-1/z^2}}{z^4}\right ) \\ &=I-\frac{\pi}{4} \end{align*}$$
Lo que implica que $I=\pi/4$ .
Del mismo modo, puede comprobarse que $J=3\pi/8$ .
El resultado me satisfizo, pero me decepcionó que no se me ocurriera ningún método real que me permitiera evaluarlo. $I$ y $J$ .
Así que ahora a mi pregunta, ¿existe algún método de evaluación utilizando técnicas reales además de la sustitución trigonométrica que pueda dar los valores de $I$ y $J$ ?
Seguro que las hay, pero no se me ocurre ninguna.
