Este modelo se denomina Modelo Wright-Fisher de deriva genética (cuando $n$ es par). Cada gen de una población es una copia de un gen aleatorio de la generación anterior. Se está estudiando el caso de que se produzca una mutación en el tiempo $0$ y luego preguntas cuánto tarda en arreglarse el gen. El siguiente argumento parece ser estándar:
Sea $D_t$ sea el recuento de pares de genes de distinto tipo. $D_t = b_t(n-b_t)$ . Por lo tanto, esto comienza en $n-1$ es siempre como máximo $n^2/4$ y es $0$ cuando se fija el gen.
$$\begin{eqnarray}E[D_{t+1}|b_t] &=& {n \choose 2}\times 2\frac{b_t}{n}\frac{n-b_t}{n} \newline &=& \frac{n^2-n}{n^2} b_t(n-b_t) \newline &=&(1-\frac{1}{n})D_t\end{eqnarray}$$
Desde $D_0 = n-1, E[D_t] = (n-1)(1-\frac{1}{n})^t.$
Podemos utilizar esto para obtener fácilmente límites superiores e inferiores de la probabilidad de que la población haya sido fijada o, de forma equivalente, de que no haya sido fijada. Sea $\tau$ sea la primera vez que se fija la población. Si $\tau \le t$ entonces $D_t=0$ . Si $\tau \gt t$ entonces $n-1 \le D_t \le n^2/4$ .
$$\begin{eqnarray}P(\tau \gt t) (n-1) &\le & ~~~~E[D_t] &\le & P(\tau \gt t) \frac{n^2}{4} \newline \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{-t}&\le & P(\tau > t)^{-1} &\le & \frac{n^2}{4(n-1)} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{-t} \newline \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^t& \ge& P(\tau > t) &\ge & \frac{4(n-1)}{n^2} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^t.\end{eqnarray}$$
Usted pregunta por la probabilidad de que el gen se fije en una dirección. La probabilidad de que la mutación se apodere de la población es $1/n$ por lo que un límite inferior para la probabilidad de que $b_t = 0$ es $1-(1-\frac{1}{n})^t-1/n$ .
Aunque la estimación
$\frac{D_0}{n-1}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^t \ge P(\tau \gt t) \ge \frac{4D_0}{n^2} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^t$
es razonable cuando $b_0 = \Theta(n)$ , no es genial si arreglas $b_0=1$ como $n\to \infty$ . $\bigg( 1-\frac{1}{n} \bigg) ^t \approx e^{-t/n}$ . Esta estimación se debilita, pero la probabilidad de que $b_t=0$ aumenta con $n$ . En el límite $n\to \infty$ podemos considerar el mapa $b_{t+1} = \textrm{Pois}(b_t)$ . En $t\to \infty, P(b_t=0) \to 1$ . Esto se puede calcular exactamente:
$$\begin{eqnarray}P(b_1 = 0) &=& e^{-1} \newline P(b_2 = 0) &=& e^{e^{-1}-1} \newline P(b_3 = 0) &=& e^{e^{e^{-1}-1}-1} \newline P(b_{t+1} = 0) &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{e~ k!}P(b_t=0)^k = \exp(P(b_t=0)-1)\end{eqnarray}$$
$e^{x-1}$ tiene un punto fijo parabólico en $1$ con ampliación $1 + (x-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2)$ . Esto indica que la convergencia a $1$ es algo como $1-c/t$ . Desde $P(b_{1000} = 0) = 0.998008$ parece que $c = 2$ .
