Utilizando la regla de la cadena para hallar las segundas derivadas parciales de $f(\alpha x, \alpha y)$

Question

Considere la función $f( \alpha x, \alpha y)$ para algunos $\alpha \in \mathbb{R}$ . Queremos calcular la segunda derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ es decir $f_{xx}$ . ¿Es correcto el siguiente método?
Primero definimos un cambio de variables : $$\bar{x} =\alpha x $$ $$\bar{y} = \alpha y $$

A continuación utilizamos la regla de la cadena para hallar la primera derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ : $$f_{x}=\alpha f_{\bar{x}}$$ Ahora queremos calcular la segunda derivada parcial, $$f_{xx}=\frac{\partial f}{\partial x}(f_{x})=\frac{\partial f}{\partial x}(\alpha f_{\bar{x}})=\alpha \frac{\partial f}{\partial \bar{x}}(f_x)=\alpha \frac{\partial f}{\partial \bar{x}}(\alpha f_\bar{x})=\alpha^2f_{\bar{x}\bar{x}} $$

Así pues, tenemos que $f_{xx} = \alpha^2 f_{\bar{x}\bar{x}}$ . ¿Funciona?

Edición: Me han informado de que mi cálculo es incorrecto, ¿cuál es la forma correcta?

Answer 1

Puede ser útil realizar el cálculo de la regla de la cadena en un entorno ligeramente más general. Consideramos las funciones \begin{align*} &f:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R}&\ \ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\quad&\qquad h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ &(x,y)\to f(x,y)&x\to \alpha x\qquad &\qquad y\to \alpha y\\ \end{align*} Obtenemos aplicando la regla de la cadena y la regla del producto \begin{align*} \color{blue}{\frac{\partial^2}{\partial x^2}f\left(g(x),h(y)\right)} &=\frac{\partial}{\partial x}\left(f^{\prime}\left(g(x),h(y)\right)g^{\prime}(x)\right)\\ &\,\,\color{blue}{=f^{\prime\prime}\left(g(x),h(y)\right)\left(g^{\prime}(x)\right)^2+f^{\prime}\left(g(x),h(y)\right)g^{\prime\prime}(x)}\tag{1} \end{align*} Desde \begin{align*} g(x)&=\alpha x\qquad\qquad h(y)=\alpha y\\ g^{\prime}(x)&=\alpha\\ g^{\prime\prime}(x)&=0 \end{align*} obtenemos de (1) observando que $g^{\prime\prime}(x)=0$ \begin{align*} \color{blue}{\frac{\partial^2}{\partial x^2}f\left(\alpha x,\alpha y\right)=f^{\prime\prime}\left(\alpha x,\alpha y\right)\alpha^2} \end{align*}