¿Más del 50% de los números enteros están por debajo de una x positiva?

Question

Si tengo un positivo x ¿hay más números enteros por debajo de x o superior x ?

Estaba discutiendo esto con unos amigos y se nos ocurrieron dos ideas opuestas:

1. No, ya que siempre se puede contar uno más en cualquier dirección.
2. Sí, ya que la infinita cantidad de números por debajo de x es mayor que la cantidad infinita de números anteriores x .

Answer 1

$\mathbb{Z}$ es contable. Por lo tanto, todos los subconjuntos de $\mathbb{Z}$ son contablemente infinitas, o finitas. No hay diferentes tamaños de infinito en los subconjuntos de $\mathbb{Z}$ -- la única forma de obtener dos subconjuntos de distinto tamaño es que al menos uno de ellos sea finito.

Answer 2

En realidad hay el mismo número de números enteros: Denotemos el entero positivo $n$ . Entonces los dos conjuntos de los que hablas son $S_1=\{x\mid x\in \mathbb{Z} \land x>n \}$ y $S_2=\{x\mid x\in \mathbb{Z} \land x<n \}$

Consideremos entonces la siguiente función $f:S_1\rightarrow S_2, f(x) =2n-x$ . Se trata de una biyección porque es inyectiva por razón obvia y suryectiva porque para cualquier $y<n$ dejamos que $x=2n-y$ que está en nuestro dominio.