Sea $d\geq 2$ y que $f\in \mathcal C_c^2(\mathbb R^d)$ . Demuestre que $$f(x)=-\int_{\mathbb R^d} G(x,y)\Delta f(y)dy=f(x)$$ para todos $x\in \mathbb R$ donde $G(x,y)$ es la solución fundamental de la ecuación de Laplace (pero no es importante para la pregunta).
Sea $x\in \mathbb R^d$ . Entonces para todos $\varepsilon>0$ por la fórmula Green $$\int_{\mathbb R^d\backslash B(x,\varepsilon)}G(x,y)\Delta f(x,y)dx=\int_{\mathbb R^d\backslash B(x,\varepsilon)}\Delta _y G(x,y)f(y)dy+\int_{\partial B(x,\varepsilon)}[G(x,y)\partial _\nu f(y)-\partial G_\nu(x,y) f(y)]dy,$$ donde $\nu$ es el vector normal de $\partial B(x,\varepsilon)$ .
Pensaba que la fórmula de Green (o, de hecho, el teorema de la divergencia) sólo se podía utilizar en conjuntos compactos, tal como está escrito aquí : aquí . Entonces, ¿por qué podemos usarlo aquí? ¿Es un error?
