simplifique $\sqrt{(45+4\sqrt{41})^3}-\sqrt{(45-4\sqrt{41})^3}$

Question

Simplifique $\sqrt{(45+4\sqrt{41})^3}-\sqrt{(45-4\sqrt{41})^3}$ .

1. $90^{\frac{3}{2}}$

2. $106\sqrt{41}$

3. $4\sqrt{41}$

4. $504$

5. $508$

Mi intento :me gusta esto pero no he conseguido ninguno de esos cinco.

$\sqrt{(45+4\sqrt{41})^3}-\sqrt{(45-4\sqrt{41})^3}={\sqrt{45+4\sqrt{41}}}^3-\sqrt{45-4\sqrt{41}}^3$

$=(\sqrt{45+4\sqrt{41}}-\sqrt{45-4\sqrt{41}})(45+4\sqrt{41}+45-4\sqrt{41}+(\sqrt{45+4\sqrt{41}})(\sqrt{45-4\sqrt{41}})$

Ahora hago la fórmula de radicales anidados y obtengo $254\sqrt{41}$ que no es ninguno de esos ¿dónde me equivoqué?

Answer 1

Pista: $$45\pm4\sqrt{41}=(2\pm\sqrt{41})^2.$$

Answer 2

¿Es ésta la fórmula radical anidada?

$\sqrt{45 \pm 4\sqrt{41}} = a \pm b\sqrt{41}$

$45 \pm 4\sqrt{41} = (a^2 + 41b^2) \pm 2ab\sqrt{41}$

$a^2 + 41b^ = 45; 2ab = 4 \implies a=2;b = 1$

Así que $\sqrt{45 \pm 4\sqrt{41}} = |2 \pm \sqrt{41}|= \pm 2 + \sqrt{41}$

Enchufando eso: $=(\sqrt{45+4\sqrt{41}}-\sqrt{45-4\sqrt{41}})(45+4\sqrt{41}+45-4\sqrt{41}+(\sqrt{45+4\sqrt{41}})(\sqrt{45-4\sqrt{41}}))$

Obtenemos $(2+\sqrt{41} - (-2+\sqrt{41}))(90+(2 + \sqrt{41})(-2+\sqrt{41}))=$

$4(90 + (-4 + 41)) = 508$

\===

Habría sido más fácil no hacer toda la expansión:

$(2 + \sqrt{41})^3 - (-2+\sqrt{41})^3=$

$(2^3 + 3*2^2*\sqrt{41} + 3*2*\sqrt{41}^2+\sqrt{41}^3)- (-2^3 + 3*2^2*\sqrt{41} - 3*2*\sqrt{41}^2+\sqrt{41}^3)=$

$2(8 + 6*41) = 508$ .

Answer 3

Cuando veo una expresión en la que ambos $\alpha = a+b\sqrt{n}$ y $\beta =a-b\sqrt n$ ocurren, inmediatamente calculo $\alpha + \beta = 2a$ y $\alpha\beta = a^2-nb^2$ ya que se garantiza que son enteros (más exactamente, el polinomio mínimo de ambos es $x^2 - (\alpha+\beta)x+\alpha\beta$ que puede ser útil en algunos casos; si no está familiarizado con el término, ignore este comentario). Así pues, tenemos $$x = \sqrt{\alpha^3}-\sqrt{\beta^3}\implies x^2 = \alpha^3 -2\sqrt{(\alpha\beta)^3}+\beta^3\\ \implies x^2 = (\alpha + \beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)-2\sqrt{(\alpha\beta)^3}\\ \implies x^2 = (\alpha + \beta)((\alpha-\beta)^2+\alpha\beta)-2\sqrt{(\alpha\beta)^3}$$

Ahora, en su caso $\alpha\beta = 1369 = 37^2$ por lo que tenemos $$x^2 = 90((2\cdot 4\sqrt{41})^2+1369)-2\cdot 37^3 = 258064\implies x= 508$$

Answer 4

Considerando todos los valores positivos, $45\pm4\sqrt{41}$ puede escribirse como $45\pm4\sqrt{41}=(\sqrt{41}\pm2)^2$ por lo que la expresión dada puede simplificarse como sigue: $$\sqrt{(45+4\sqrt{41})^3}-\sqrt{(45-4\sqrt{41})^3}=\left(\sqrt{45+4\sqrt{41}}\right)^3-\left(\sqrt{45-4\sqrt{41}}\right)^3=\left(\sqrt{\left(\sqrt{41}+2\right)^2}\right)^3-\left(\sqrt{\left(\sqrt{41}-2\right)^2}\right)^3=\left(\sqrt{41}+2\right)^3-\left(\sqrt{41}-2\right)^3$$ Ahora recuerda, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . Así, $$\left(\sqrt{41}+2\right)^3-\left(\sqrt{41}-2\right)^3=\left((\sqrt{41}+2)-(\sqrt{41}-2)\right)\left((\sqrt{41}+2)^2+(\sqrt{41}+2)(\sqrt{41}-2)+(\sqrt{41}-2)^2\right)=\left(\sqrt{41}+2-\sqrt{41}+2\right)\left(45+4\sqrt{41}+41-4+45-4\sqrt{41}\right)=4(45+41-4+45)=508$$