¿Por qué el pullback sólo se define hasta el isomorfismo y, sin embargo, se presenta como un functor?

Question

Estoy leyendo "Category Theory" (2ª ed.) de Awodey, y estoy atascado en la página 96 (proposición 5.12) cuando se presentan los pullbacks como functores:

El retroceso en cuestión corresponde a este cuadrado:

$$\begin{matrix} C' \times_C A & \xrightarrow{h'} & A \\[1ex] \downarrow \rlap{\scriptstyle{\alpha'}} & & \downarrow\rlap{\scriptstyle{\alpha}} \\[1ex] C' & \xrightarrow{h} & C \end{matrix}$$

Esta es la afirmación del libro de Awodey que no entiendo:

Pullback es un functor. Es decir, para $C' \rightarrow_h C$ en una categoría $\mathbf{C}$ con pullbacks, existe un functor

$h^* : \mathbf{C}/C \rightarrow \mathbf{C}/C'$

definido por

$(A\rightarrow_\alpha C) \mapsto (C'\times_C A \rightarrow_{\alpha'} C')$

donde $\alpha'$ es el pullback de $\alpha$ a lo largo de h

El problema que veo es que, dado inicialmente:

$$\begin{matrix} & & A \\[1ex] & & \downarrow \rlap{\scriptstyle{\alpha}} \\[1ex] C' & \xrightarrow{h} & C \end{matrix}$$

puede haber varios pullbacks en él, por ejemplo, además de $(\alpha',h')$ podría haber $(\alpha_2',h_2')$ y la única condición es que exista un isomorfismo $i$ tal que $\alpha_2' = \alpha\circ i$ y $h_2' = h'\circ i$ . Peor aún, dado un retroceso $(\alpha',h')$ se pueden construir tantos pullbacks como isomorfismos existan, ya que dado cualquier isomorfismo $j$ (con dominio $C' \times_C A \rightarrow_{h'}$ ) las dos flechas $(\alpha'\circ j,h' \circ j)$ formar un nuevo pullback.

Entonces, ¿cómo podríamos construir un functor si la flecha imagen sólo está definida hasta un isomorfismo arbitrario?

Answer 1

Consideremos primero una situación algo más sencilla. El producto cartesiano de los conjuntos $A$ y $B$ es un conjunto $C$ con dos mapas $p_1 : C \to A$ y $p_2 : C \to B$ tal que ... (condición familiar insertada aquí). Todos los productos cartesianos de $A$ y $B$ son canónicamente isomorfas, y entre ellas hay una particular, denotada $A \times B$ que se define específicamente como $A \times B = \lbrace\lbrace\lbrace x,y \rbrace, \lbrace y\rbrace\rbrace \mid x \in A \land y \in B\rbrace$ .

Se trata de una situación familiar. A menudo una construcción está determinada hasta el isomorfismo canónico, pero tenemos una específica que podemos utilizar como una operación como $(A,B) \mapsto A \times B$ arriba.

Awodey hace lo mismo en su libro. "Ser un retroceso" es una propiedad, pero podemos convertirla en estructura, es decir, en una operación que toma un par de flechas $f : A \to C$ y $g : B \to C$ y da un cuadrado de retroceso. Puede que se pregunte si siempre existe una operación de este tipo. Si crees en el axioma de elección, la respuesta es afirmativa, porque siempre podemos elegir pullbacks particulares entre los canónicamente isomorfos. En ejemplos concretos se suelen encontrar fácilmente los pullbacks elegidos, así que esto no es problemático.

Hay una pequeña pega. Mientras que para $h : A \to B$ se da el caso de que $h^{*}$ es un functor de $\mathcal{C}/B$ a $\mathcal{C}/A$ la asignación $h \mapsto h^\ast$ tiende a ser un "functor hasta isomorfismo" solamente. Esto es así porque la composición de pullbacks elegidos no tiene por qué ser un pullback elegido (pero es canónicamente isomprhic a él).

Answer 2

En realidad, me parece que hay una confusión de dos cuestiones diferentes. De acuerdo con la declaración en el recuadro en el OP, sólo tenemos que exhibir un functor $h^\ast: \mathbf{C}/C \to \mathbf{C}/C'$ para un morfismo fijo $h: C' \to C$ . Somos no se nos pide que demostremos que podemos elegir un functor estricto (en lugar de un pseudofunctor)

$$\mathbf{C}^{op} \to Cat$$

que toma cada objeto $C$ a la rebanada $\mathbf{C}/C$ y morfismos $h$ a functores de pullback, que parece ser la cuestión que Andrej está discutiendo.

La cuestión que se debate en el enunciado del recuadro es fácil, y puede resumirse así: si $\mathbf{C}$ tiene pullbacks, entonces para cada $h: C' \to C$ el functor pushforward $\sum_h: \mathbf{C}/C' \to \mathbf{C}/C$ (tomando cada objeto $f: X \to C'$ en el dominio al objeto $h \circ f: X \to C$ en el codominio, y definido de la manera obvia sobre morfismos) tiene un adjunto derecho (que es por supuesto un functor) $h^\ast$ . Aquí sólo tenemos que elegir un objeto pullback $h^\ast g$ en $\mathbf{C}/C'$ para cada objeto $g: Y \to C$ en $\mathbf{C}/C$ y, a continuación, defina $h^\ast$ sobre morfismos en la forma dictada por la propiedad universal. En otras palabras, cualquier elección de pullback $h^\ast g$ uno para cada objeto $g$ en $\mathbf{C}/C$ define una flecha universal

$$\Phi_g: \sum_h (h^\ast g) \to g$$

de modo que habiendo hecho estas elecciones y dado un morfismo $f: g \to g'$ en $\mathbf{C}/C$ (es decir, un triángulo conmutativo), podemos entonces definir $h^\ast f: h^\ast g \to h^\ast g'$ es la única flecha tal que

$$\Phi_{g'} \circ \sum_h (h^\ast f) = f \circ \Phi_g$$

y la funtorialidad de $h^\ast$ se garantiza mediante los argumentos universales habituales.

Edita: Por ejemplo $h^\ast$ conserva las composiciones. Supongamos morfismos dados $f: g \to g'$ y $f': g' \to g''$ en $\mathbf{C}/C$ . Entonces $h^\ast (f' \circ f)$ es la única flecha $h^\ast g \to h^\ast g''$ tal que

$$\Phi_{g''} \circ \sum_h h^\ast(f' \circ f) = f' \circ f \circ \Phi_g.$$

Por otro lado,

$$ \Phi_{g''} \circ \sum_h (h^\ast f' \circ h^\ast f) = \Phi_{g''} \circ (\sum_h h^\ast f') \circ (\sum_h h^\ast f) = f' \circ \Phi_{g'} \circ (\sum_h h^\ast f) = f' \circ f \circ \Phi_g $$

y así, por unicidad, $h^\ast (f' \circ f) = (h^\ast f') \circ (h^\ast f)$ .

Answer 3

¿Por qué nadie ha mencionado anafunctores ? Fueron inventados por Makkai con el propósito expreso de expresar construcciones universales como cosas parecidas a functores (iba a decir 'objetos') sin tener que hacer elecciones.

La definición es la siguiente: Sea $C$ y $D$ ser categorías. Un anafunctor de $C$ a $D$ es un tramo $C\leftarrow U \to D$ donde $U \to C$ es totalmente fiel y suryectiva sobre los objetos.

Ya está.

Por supuesto, es un poco más complicado demostrar que existen las flechas de una 2-categoría (débil) de categorías, y que la teoría de categorías funciona perfectamente utilizando esta noción de categorías; para los propósitos actuales, las referencias en el enlace anterior deberían satisfacer a los más curiosos.

En el caso del "functor" de pullback $h^*$ tenemos un anafunctor $\mathbf{C}/C \leftarrow P \to \mathbf{C}/C'$ donde $P$ es la categoría con objetos pullback cuadrados con flecha inferior $h$ y morfismos lo canónico que hace que $P \to \mathbf{C}/C$ totalmente fieles: triángulos conmutativos que implican el otro cateto del cospán que implican $h$ - en otras palabras, flechas en $\mathbf{C}/C$ . Esto induce una flecha canónica en $\mathbf{C}/C'$ por la propiedad universal de los pullbacks, y entonces el functor $P\to \mathbf{C}/C'$ simplemente olvida el cuadrado de retroceso original, y mantiene la flecha con codominio $C'$ . Se trata de un functor mediante el uso de la propiedad universal de pullbacks un par de veces.

Si uno tiene una manera de elegir un cuadrado de pullback particular para cada objeto de $\mathbf{C}/C$ por ejemplo, mediante algún tipo de construcción canónica como en la categoría de conjuntos (ZF-)- (pares y subconjuntos de Kuratowski), o mediante cantidades juiciosas del axioma de elección, entonces se puede encontrar una sección sobre objetos de $P \to \mathbf{C}/C$ y esto le da una sección canónica del functor $P \to \mathbf{C}/C$ lo que da un retroceso functor $h^*\colon \mathbf{C}/C \to \mathbf{C}/C'$ .

Un tipo similar de anafunctor existe para cualquier construcción universal, que se define hasta el isomorfismo por alguna propiedad universal.