Creo que sólo tienes que demostrar que $b_n = 5\cdot 3^n + 7\cdot 2^n$ cumple la relación de recurrencia y las condiciones iniciales para cada instancia $n$ . Como la relación implica hasta dos elementos de secuencia anteriores, utilizaría la inducción fuerte.
Se empieza con pruebas directas para $b_0$ entonces $b_1$ y la inducción a partir de $n=2$ .
Actualización: Parece que tengo que dar una solución completa:
Las condiciones iniciales se mantienen por evaluación y comparación. $$ S(0): b_0 = 12 \wedge b_0 = 5\cdot 3^0 + 7\cdot 2^0 = 5 + 7 = 12 \\ S(1): b_1 = 29 \wedge b_1 = 5\cdot 3^1 + 7\cdot 2^1 = 15 + 14 = 29 \\ $$ Donde el $\wedge$ significa "y" lógico.
La declaración para $n$ , $n\ge 2$ es $$ S(n): b_n = 5 b_{n-1} - 6 b_{n-2} \wedge b_n = 5\cdot 3^n + 7\cdot 2^n $$ Caso base $n=2$ : $$ S(2):b_2 = 5 b_1 - 6 b_0 \wedge b_2 = 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 2^2 $$ Esto equivale a $$ S(2): b_2 = 5 \cdot 29 - 6 \cdot 12 = 145-72=73 \wedge b_2 = 45 + 28 = 73 $$ que es una afirmación verdadera.
Paso de inducción:
Suponiendo que $S(k)$ es cierto para $k\in\{2,\dotsc, n\}, n\ge 2$ tenemos $$ S(k+1): b_{k+1} = 5 b_k - 6 b_{k-1} \wedge b_{k+1} = 5\cdot 3^{k+1} + 7\cdot 2^{k+1} $$ donde \begin{align} b_{k+1} &= 5 b_k - 6 b_{k-1} \\ &= 5 \left( 5\cdot 3^k + 7\cdot 2^k \right) - 6 \left( 5\cdot 3^{k-1} + 7\cdot 2^{k-1} \right) \end{align} El primer término entre paréntesis se justifica por la verdad de $S(k)$ . El segundo término requiere una distinción de casos: Para $k=2$ se basa en la veracidad del cumplimiento de la condición básica $b_1$ de lo contrario podemos basarnos en las afirmaciones verdaderas $S(k-1)$ . Entonces: $$ \begin{align} b_{k+1} &= (25 - 10) 3^k + (35-21) 2^k \\ &= 15\cdot 3^k + 14\cdot 2^k \\ &= 5\cdot 3^{k+1} + 7\cdot 2^{k+1} \end{align} $$ por lo que terminamos con $$ S(k+1): b_{k+1} = 5\cdot 3^{k+1} + 7\cdot 2^{k+1} \wedge b_{k+1} = 5\cdot 3^{k+1} + 7\cdot 2^{k+1} $$ que es una afirmación verdadera.
Por el principio de inducción fuerte concluimos la verdad de $S(n)$ para todo número entero $n$ con $n>=2$ .
Añadiendo la verdad de las condiciones iniciales podemos afirmar la verdad de $S(n)$ para todo número entero $n$ con $n \ge 0$ .
Ahora \begin{align} S(0)&: b_0 = 12 \wedge b_0 = 5\cdot 3^0 + 7\cdot 2^0 \\ S(1)&: b_1 = 29 \wedge b_1 = 5\cdot 3^1 + 7\cdot 2^1 \\ S(n)&: b_n = 5 b_{n-1} - 6 b_{n-2} \wedge b_n = 5\cdot 3^n + 7\cdot 2^n \quad (n \ge 2) \end{align} significa que para todo número entero $n$ con $n\ge 0$ la secuencia $b_n = 5\cdot 3^n + 7\cdot 2^n$ es la solución de la relación de recurrencia.
