Funciones lineales R en variedades

Question

Seguramente lo siguiente es bien conocido:

Sea $X$ sea una variedad (diferenciable), $R$ el anillo de funciones reales continuas/suaves sobre $X$ , $V$ el $R$ -de todos los campos vectoriales continuos/suaves en $X$ y $\operatorname{Hom}_R(V,R)$ el $R$ -módulo de todos $R$ -mapas lineales de $V$ a $R$ .

Utilizando "funciones locales de protuberancia", no es difícil ver que siempre que $F$ es un $R$ -y siempre que $f, g$ en $V$ y $f = g$ localmente alrededor de algún punto $x$ entonces también $F(f) = F(g)$ localmente alrededor de $x$ .

Ahora esperaba que se mantuviera algo más fuerte, a saber, que $F(f)(x)$ depende únicamente de $f(x)$ es decir, para cualquier $x$ en $X$ si $f(x) = g(x)$ entonces $F(f)(x) = F(g)(x)$ .

Pero no puedo encontrar una prueba, ni un contraejemplo.

¿Alguien?

(Tenga en cuenta que los derivados no son $R$ -lineal).

Answer 1

A menos que me esté perdiendo algo, tu versión "reforzada" también es correcta.

Si no te importa, voy a utilizar una notación que me resulta más familiar. Por lo tanto, voy a dejar que $X$ denota un campo vectorial. Como ya se ha demostrado que si $X = Y$ en un subconjunto abierto $U\subseteq M$ que $F(X)(p) = F(Y)(p)$ para todos $p\in U$ podemos reducir su pregunta a una pregunta local. Es decir, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $M = \mathbb{R}^n$ (o, alternativamente, simplemente trabajar en $U$ asumiendo $U$ es un gráfico).

Así, podemos expresar $X = \sum a_i \frac{\partial}{\partial x^i}$ para algunas funciones $a_i$ definido en $U$ . Sea $Y = \sum b_i \frac{\partial}{\partial x^i}$ sea un campo vectorial cualquiera y supongamos $a_i(p) = b_i(p)$ - es decir, $X(p) = Y(p)$ . Afirmo que $F(X)(p) = F(Y)(p)$ para que, en particular $F(X)(p)$ sólo depende de $X(p)$ .

Para verlo, basta con utilizar $R$ -linealidad: \begin{align*} F(X)(p) &= F\left(\sum a_i \frac{\partial}{\partial x^i}\right)\\ &= \sum a_i(p) F\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)(p) \\ &= \sum b_i(p)F\left(\frac{\partial}{\partial x^i} \right)(p)\\ &=F\left(\sum b_i \frac{\partial}{\partial x^i}\right)\\ &=F(Y)(p).\end{align*}