Un objeto de categoría interno a conjuntos simpliciales es lo mismo que un espacio de Segal en el que las condiciones de Segal se mantienen en la nariz en lugar de meramente hasta equivalencia débil. En otras palabras, una categoría es algo cuyo nervio tiene rellenos de cuernos únicos en lugar de espacios meramente contractibles de rellenos.
Los objetos de categoría anteriores generan una subcategoría completa (categoría relativa) de la categoría relativa de Rezk de espacios completos de Segal. Como explico a continuación, el trabajo de Barwick y Kan demuestra que la inclusión de esta sub-(categoría relativa) induce una equivalencia de teorías de homotopía.
Barwick y Kan construyen un functor nervioso $N$ de categorías relativas pequeñas a espacios simpliciales. El punto clave es que cualquier cosa en la imagen de este nervio es un objeto de categoría en el sentido anterior.
Su functor nervioso $N$ tiene un adjunto izquierdo $K$ pero también consideran un segundo functor $M$ de espacios simpliciales a categorías relativas. Los functores $M$ y $N$ son equivalencias inversas de teorías de homotopía en el sentido de que existe un zigzag de equivalencias débiles naturales $$NMX \rightarrow NKX \leftarrow X$$ para cualquier espacio simplicial $X$ , y una equivalencia débil natural $$MNY \rightarrow Y$$ para cualquier categoría relativa $Y$ .
Si se restringen los dominios de $K$ y $M$ para consistir sólo en objetos de categoría, las equivalencias débiles naturales anteriores permanecen intactas. Así, la teoría de homotopía de Barwick+Kan de categorías relativas es equivalente a la teoría de objetos de categoría en espacios simpliciales.
