No se puede calcular el límite sin obtener un formulario indeterminado

Question

En principio necesito resolver esto: $$\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{-1/x}}{x^k},\; \text{ where }k\in\mathbb{N}\cup\{0\}.$$

Cuando sustituyo $y=\dfrac1x$ entonces me sale: $\lim\limits_{y\to\infty} \dfrac{y^k}{e^y} $

No consigo calcular este límite. Haga lo que haga, obtengo un límite indeterminado, incluso con la regla de L'Hospital

Answer 1

Calculemos el límite de su logaritmo.

$$\lim_{y\to+\infty}(k\ln(y)-y)$$

que se convierte en

$$\lim_{y\to+\infty}y(k\frac{\ln(y)}{y}-1)=-\infty$$

por lo tanto, su límite es cero.

Answer 2

Para $k\neq0$ tenemos $$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{e^{-1/x}}{x^k}$$ $$=\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{1}{e^{1/x}x^k}$$ $$=\left(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{1}{e^{1/x}}\right)\left(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^k}\right)$$ $$=\left(\frac{1}{e^{\infty}}\right)\left({\frac{1}{\infty^k}}\right)$$ $$=0\times0$$ $$=0$$

En caso de que $k=0$ obtendríamos la misma respuesta ya que la expresión se convierte en $$\displaystyle\lim_{x\to0^+}{e^{-1/x}}=e^{-\infty}=0.$$

Por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{e^{-1/x}}{x^k}=0$ para todos $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ .