Una pregunta de principiante sobre mecánica cuántica

Question

Actualmente estoy trabajando a través del libro de Dirac Los principios de la mecánica cuántica . En él, describe la naturaleza de las superposiciones y en un momento dado afirma:

"... si el vector ket correspondiente a un estado se multiplica por cualquier número complejo, no cero, el vector ket resultante corresponderá al mismo estado".

A continuación afirma que,

"Dados dos estados correspondientes a los vectores ket $|A\rangle$ y $|B\rangle$ el estado general que se forma al superponerlos corresponde a un vector ket $|R\rangle$ que viene determinada por dos números complejos, a saber, los coeficientes $c_{1}, c_{2}$ [de $c_{1}|A\rangle + c_{2}|B\rangle = |R\rangle$ ]. Si estos dos coeficientes se multiplican por el mismo factor (a su vez un número complejo), el vector ket $|R\rangle$ se multiplicará por este factor y el estado correspondiente permanecerá inalterado. Por lo tanto, sólo la relación de los dos coeficientes es eficaz para determinar el estado $|R\rangle$ . Por lo tanto, este estado está determinado por un número complejo, o por dos parámetros reales. Así, a partir de dos estados dados, se puede obtener una doble infinidad de estados por superposición".

Corrígeme si me equivoco, pero Dirac parece decir que se obtiene un número infinito de estados diferentes de la forma $c_{1}|A\rangle + c_{2}|B\rangle$ en función de $c_{1}$ y $c_{2}$ (o realmente determinado por su proporción). Pero dada la afirmación anterior de Dirac, parece que obtenemos una clase de equivalencia de estados $\{z|A\rangle : z\in \mathbb{C}, z\neq 0\}$ y $\{z|B\rangle : z\in \mathbb{C}, z\neq 0\}$ así que ¿por qué no $c_{1}|A\rangle + c_{2}|B\rangle$ y $c_{3}|A\rangle + c_{4}|B\rangle$ ¿representan siempre el mismo estado sean cuales sean los coeficientes (excepto 0)?

Answer 1

Como algebrista lineal, la siguiente interpretación es la que más me ayudó: el conjunto de estados cuánticos (no necesariamente puros) está en correspondencia uno a uno con matrices simétricas positivas-semidefinidas de traza-1; los estados puros son los que corresponden a matrices de rango-1 $\mid \! u \rangle \langle u \! \mid$ mientras que los estados no puros corresponden a sus combinaciones convexas.

Así, en lugar de pensar en vectores y sus "combinaciones convexas formales", basta con pensar en matrices simétricas de rango 1 y sus combinaciones convexas en el sentido habitual. Esta interpretación también te resultará útil más adelante en tu estudio de la QM.

EDIT: Corregidos dos errores señalados en los comentarios.

Answer 2

Intenta no perder de vista la física (el objetivo final, en realidad) en esta jerga matemática:

Esta operación de adición es literalmente superposición así que entendamos lo que ocurre en estos términos. Los coeficientes representan la probabilidad de que tu objeto (descrito por el vector superpuesto) se encuentre realmente en uno de esos vectores de estado o en el otro. Dicho esto, ten en cuenta que si tu objeto sólo está en $|A\rangle$ entonces la función de onda es literalmente $1|A\rangle$ No tiene sentido que sólo sea $\frac{1}{3}|A\rangle$ pero no importa, porque normalizamos la función de onda, así que cualquier coeficiente desaparecerá (es decir, se convertirá en "1")... así que esto pertenece a la primera afirmación de Dirac. Ahora para $|R\rangle$ sigue habiendo normalización, es decir $\sqrt{|c_1|^2+|c_2|^2}=1$ . Pero aquí tenemos libertad en esta condición, por lo que los coeficientes en sí no sólo pasan a 1. En particular, son números importantes: tal par $(c_1,c_2)$ le está diciendo con qué probabilidad su objeto se encuentra en $|A\rangle$ frente a $|B\rangle$ de tal manera que el objeto definitivamente en algún lugar (la normalización anterior). Ahora vemos claramente que variando esos coeficientes va a cambiar su estado.

(Si quieres la explicación puramente matemática, consulta los otros posts; yo me he limitado a seguir la corriente del título del post).

Answer 3

Por supuesto, se puede considerar la proyectivización del espacio de Hilbert correspondiente, donde se tiene el Hamiltoniano como función cuadrática $\frac{(x,Hx)}{(x,x)}$ y la estructura de Kahler que da una imagen realmente clásica de la dinámica cuántica de los estados (sin fase). Además, los estados módulo fase son los mismos a partir de sus valores de expectativa en todos los observables. Así que la pregunta es: ¿por qué te preocupas por la superposición? En la mecánica cuántica es útil tomar algunos estados básicos y considerar cualquier otro como superposición de los dados, y lo que no se puede ver en la proyectivización es la regla para cambiar la expansión de superposición de una base a otra. Por lo tanto, el estado como objeto en sí mismo es independiente de la fase, pero globalmente se necesita una estructura lineal y esto puede ser señalado por la regla 'producto de dos sistemas <-> producto tensorial de espacios de estados'.