Una pregunta de principiante sobre mecánica cuántica

Question

Actualmente estoy trabajando a través del libro de Dirac Los principios de la mecánica cuántica . En él, describe la naturaleza de las superposiciones y en un momento dado afirma:

"... si el vector ket correspondiente a un estado se multiplica por cualquier número complejo, no cero, el vector ket resultante corresponderá al mismo estado".

A continuación afirma que,

"Dados dos estados correspondientes a los vectores ket $|A\rangle$ y $|B\rangle$ el estado general que se forma al superponerlos corresponde a un vector ket $|R\rangle$ que viene determinada por dos números complejos, a saber, los coeficientes $c_{1}, c_{2}$ [de $c_{1}|A\rangle + c_{2}|B\rangle = |R\rangle$ ]. Si estos dos coeficientes se multiplican por el mismo factor (a su vez un número complejo), el vector ket $|R\rangle$ se multiplicará por este factor y el estado correspondiente permanecerá inalterado. Por lo tanto, sólo la relación de los dos coeficientes es eficaz para determinar el estado $|R\rangle$ . Por lo tanto, este estado está determinado por un número complejo, o por dos parámetros reales. Así, a partir de dos estados dados, se puede obtener una doble infinidad de estados por superposición".

Corrígeme si me equivoco, pero Dirac parece decir que se obtiene un número infinito de estados diferentes de la forma $c_{1}|A\rangle + c_{2}|B\rangle$ en función de $c_{1}$ y $c_{2}$ (o realmente determinado por su proporción). Pero dada la afirmación anterior de Dirac, parece que obtenemos una clase de equivalencia de estados $\{z|A\rangle : z\in \mathbb{C}, z\neq 0\}$ y $\{z|B\rangle : z\in \mathbb{C}, z\neq 0\}$ así que ¿por qué no $c_{1}|A\rangle + c_{2}|B\rangle$ y $c_{3}|A\rangle + c_{4}|B\rangle$ ¿representan siempre el mismo estado sean cuales sean los coeficientes (excepto 0)?

Answer 1

Me gusta la perspectiva de que el conjunto de estados es precisamente el conjunto de operadores de clase de traza positiva $M$ de la traza uno . Un estado se denomina puro si $M=pr^{\perp}_{U}$ es la proyección ortogonal sobre un subespacio unidimensional $U$ .

Así, todo vector distinto de cero $\psi$ define un estado puro. Dado que la proyección ortogonal sobre $\mathbb{C}\psi$ es el mismo operador que la proyección ortogonal sobre $\mathbb{C}x\psi$ para cada $x\in \mathbb{C}^\times$ No hay confusión sobre las clases de equiavlencia.

En cuanto a la superposición de estados, se muestra:

• El conjunto de estados no es un espacio vectorial, sino un espacio convexo. Esto explica (a) que en una combinación lineal de vectores sólo cuente el cociente de los coeficientes, y explica (b) que combinaciones convexas $$ aM_1 + (1-a)M_2 $$ de estados es la única operación permitida en el espacio de estados.

• Cada estado es una combinación convexa de estados puros.

• Un estado es puro si y sólo si puede escribirse como una combinación convexa de otros estados sólo de forma trivial.

Este punto de vista se describe en el libro

• L. A. Takhtajan, "Quantum mechanics for mathematicians", Graduate Studies in Mathematics Vol. 95, AMS, 2008

Answer 2

Sea $ |A \rangle $ y $ |B \rangle $ sean dos vectores distintos de cero de un espacio de Hilbert $ \mathcal{H} $ que pertenecen a dos subespacios unidimensionales diferentes de $ \mathcal{H} $ . Según Dirac, $ |A \rangle $ y $ |B \rangle $ representan dos estados cuánticos diferentes.

Consideremos ahora dos superposiciones no triviales de $ |A \rangle $ y $ |B \rangle $ : $$ |R_{1} \rangle := a_{1} |A \rangle + b_{1} |B \rangle \quad \& \quad |R_{2} \rangle := a_{2} |A \rangle + b_{2} |B \rangle, $$ donde no trivial significa que $ (a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}) \in \mathbb{C}^{2} \setminus \lbrace (0,0) \rbrace $ . Si $ |R_{1} \rangle $ y $ |R_{2} \rangle $ deben representar el mismo estado cuántico, entonces deben estar en el mismo subespacio unidimensional de $ \mathcal{H} $ es decir, deben ser múltiplos escalares no nulos entre sí. Sabiendo esto, escribimos $ |R_{2} \rangle = \lambda |R_{1} \rangle $ donde $ \lambda \in \mathbb{C}^{\times} $ . En $ \lbrace |A \rangle,|B \rangle \rbrace $ es un subconjunto linealmente independiente de $ \mathcal{H} $ se deduce que la condición $ (a_{2},b_{2}) = \lambda (a_{1},b_{1}) $ deben cumplirse. Esta condición no se cumple para todas las opciones de $ (a_{1},b_{1}) $ y $ (a_{2},b_{2}) $ en $ \mathbb{C}^{2} \setminus \lbrace (0,0) \rbrace $ . Por lo tanto, en general, $ |R_{1} \rangle $ no representa el mismo estado cuántico que $ |R_{2} \rangle $ .

Answer 3

La cuestión es que la suma de vectores no es sólo una operación sobre los estados determinados por esos vectores. Así que no, no representan el mismo estado. Por ejemplo, consideremos un espacio de Hilbert bidimensional con base ortonormal $|1\rangle$ y $|2\rangle$ . Entonces $|1\rangle + |2\rangle$ y $|1 \rangle - |2 \rangle$ son vectores ortogonales que representan estados muy diferentes.

Answer 4

Aunque toda la información pertinente para responder a esta pregunta ya está disponible en las distintas respuestas y comentarios dados, creo que merece la pena aclarar algunas cosas. Ya se han dado varias definiciones precisas, así que seré breve.

• Hay dos tipos de operaciones que pueden realizarse sobre los estados: las "mezclas" y las "superposiciones".
• Mezclas tomar dos o más estados puros y producir un estado mixto. Si los estados se representan mediante operadores de traza unitaria de clase de traza positiva o como funcionales lineales normalizados positivos en el álgebra pertinente de operadores acotados, las mezclas corresponden precisamente a combinaciones lineales convexas de estados, de la forma inequívoca más obvia.
• Superposiciones tomar dos o más estados puros y producir un estado puro. Las superposiciones se realizan más fácilmente dados vectores de estado individuales, digamos $|\psi\rangle$ y $|\phi\rangle$ cada uno de los cuales es un representante del rayo correspondiente al estado puro $\rho_\psi = |\psi\rangle\langle\psi|$ o $\rho_\phi = |\phi\rangle\langle\phi|$ . Dados cualesquiera números complejos $c_1$ y $c_2$ el nuevo estado puro $\rho_\chi = |\chi\rangle\langle\chi|$ donde $|\chi\rangle = c_1|\psi\rangle + c_2 |\phi\rangle$ es un representante del rayo del nuevo estado de superposición.
• Por supuesto, se podría imaginar una operación de superposición que actúe directamente sobre los estados, en lugar de sobre sus vectores de estado representativos, algo así como $\rho_\chi = S(c_1,c_2;\rho_\psi,\rho_\phi)$ . Pero entonces, hay esencialmente una elección implícita del vector de estado representativo ( $\rho_\psi \to |\psi\rangle$ etc.) que implica dicha definición. La operación $S'(c_1,c_2;-) = S(c_1\lambda_1,c_2\lambda_2;-)$ donde $\lambda_1$ y $\lambda_2$ son cualesquiera números complejos distintos de cero es una opción igualmente buena. Así que, en este sentido, ni $S$ ni $S'$ es la operación de "superposición".

Los físicos no suelen preocuparse por estas sutilezas porque trabajan con representantes explícitos de vectores de estado para todos los estados que les interesa analizar.

Answer 5

Las respuestas de Konrad Waldorf y Federico Poloni me parecen fantásticas. Sin embargo, si estás empezando a aprender mecánica cuántica -especialmente a partir de un libro antiguo, como el que estás usando- puede que quieras pensar sólo en estados puros (esto se puede hacer ). sin pérdida de generalidad ). En ese caso, esta respuesta puede serle útil.

---

En mi opinión, pensar que las combinaciones lineales de vectores representan "superposiciones" de los estados correspondientes es extremadamente engañoso. Podría sugerir, por ejemplo, que si un fotón en el estado representado por $|H\rangle$ se guarnece para pasar a través de un polarizador horizontal, y un fotón en el estado representado por $|L\rangle$ está garantizado que pasa a través de un polarizador circular izquierdo, entonces un fotón en el estado de "superposición" $|H\rangle + \sqrt{2}|L\rangle$ debería tener al menos alguna posibilidad de pasar a través de un polarizador horizontal. Sin embargo, al elegir los vectores $|H\rangle$ y $|L\rangle$ adecuadamente, puedes configurar las cosas para que un fotón en el estado representado por $|H\rangle + \sqrt{2}|L\rangle$ se nunca pasan a través de un polarizador horizontal.

Incluso cuando el concepto de superposición no es activamente perjudicial, lo encuentro totalmente inútil, y le instaría a olvidarse de él por completo. Sin embargo, si es absolutamente necesario, puede seguir leyendo una descripción de la única situación que conozco en la que la "superposición" tiene algún tipo de sentido.

---

Supongamos que tenemos un sistema cuántico con un espacio de estados $\mathcal{H}$ . Se puede pensar en cada base ortonormal para $\mathcal{H}$ como una descripción abstracta de un experimento que podría realizarse en el sistema; los vectores base representan los posibles resultados del experimento.

Diga $|v_1\rangle, \ldots, |v_n\rangle$ es una base ortonormal para $\mathcal{H}$ y $$|\psi\rangle = c_1|v_1\rangle + \ldots + c_n|v_n\rangle$$ es un vector unitario que representa el estado del sistema. Si se realiza el experimento descrito por la base $|v_1\rangle, \ldots, |v_n\rangle$ , tienes probabilidad $|c_k|^2$ de obtener el resultado representado por $|v_k\rangle$ .

A algunas personas les gusta pensar que el Estado $|\psi\rangle$ como una "superposición" de los posibles resultados experimentales representados por los vectores base $|v_1\rangle, \ldots, |v_n\rangle$ . Observa que si cambias los coeficientes $c_1, \ldots, c_n$ pero manteniendo sus magnitudes iguales, el estado $|\psi\rangle$ cambiará, pero las estadísticas del experimento descrito por la base $|v_1\rangle, \ldots, |v_n\rangle$ seguirá igual. En otras palabras, si $$|\psi'\rangle = c'_1|v_1\rangle + \ldots + c'_n|v_n\rangle$$ es una superposición con $|c'_j| = |c_j|$ para todos $j$ entonces los estados representados por $|\psi\rangle$ y $|\psi'\rangle$ no pueden distinguirse utilizando el experimento descrito por $|v_1\rangle, \ldots, |v_n\rangle$ .

Sin embargo, consideremos otra base ortonormal $|w_1\rangle, \ldots, |w_n\rangle$ y escribe $$|\psi\rangle = d_1|w_1\rangle + \ldots + d_n|w_n\rangle$$ $$|\psi'\rangle = d'_1|w_1\rangle + \ldots + d'_n|w_n\rangle.$$ En general, $|d_j|$ no será igual a $|d'_j|$ para todos $j$ . En este caso, los estados representados por $|\psi\rangle$ y $|\psi'\rangle$ pueden distinguirse utilizando el experimento descrito por $|w_1\rangle, \ldots, |w_n\rangle$ .

---

Así, si se tiene una "superposición" de vectores de bases ortonormales, cambiar los coeficientes sin cambiar sus magnitudes no cambiará la estadística del experimento descrito por la base que se utilizó, pero en general cambiará la estadística de los experimentos descritos por la mayoría de las otras bases. Esta es la razón por la que cambiar los coeficientes de una "superposición" generalmente te da un representante de un estado diferente.

Digo "generalmente" porque hay una excepción: si cambias los coeficientes multiplicándolos todos por el mismo número, las estadísticas de todos los experimentos seguirán siendo las mismas. Por eso, al multiplicar un vector por un número se obtiene un representante del mismo estado.