Modelos de la curva modular $Y_1(N)$

Question

Consideremos la conocida superficie de Riemann

$$ Y_1(N) = \Gamma_1(N) \backslash \mathcal{H} $$

donde $\mathcal{H}$ es el semiplano superior y $\Gamma_1(N)$ es el subgrupo de matrices en $SL_2(\mathbb{Z})$ que son congruentes con $\begin{pmatrix} 1 & * \\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ modulo $N$ .

Es un teorema estándar que $Y_1(N)$ tiene un modelo canónico como curva algebraica sobre $\mathbb{Q}$ y este modelo es un espacio de moduli para pares $(E, P)$ donde $E$ es una curva elíptica y $P$ es un punto de orden $N$ con el mapa de $\Gamma_1(N) \backslash \mathcal{H}$ mediante el envío de $\tau$ a $(\mathbb{C} / (\mathbb{Z} + \mathbb{Z} \tau), 1/N)$ ,

Solía creer que el campo de funciones de esta canónica $\mathbb{Q}$ -era exactamente el modelo meromórfico $\Gamma_1(N)$ -(con crecimiento suficientemente lento en las cúspides) cuyas $q$ -expansión en $\infty$ tienen coeficientes en $\mathbb{Q}$ . Pero algunas cosas que acabo de leer sobre las unidades de Siegel me convencen de que esto no puede ser cierto.

• ¿Se pueden caracterizar las funciones racionales en la canónica $\mathbb{Q}$ -modelo en términos de $q$ -¿Expansiones?
• ¿El campo de las funciones modulares con racionales $q$ -expansiones también dan un modelo de $Y_1(N)$ en $\mathbb{Q}$ ? En caso afirmativo, ¿tiene alguna interpretación natural como espacio de moduli?

Answer 1

En el modelo que describes, la cúspide $\infty$ de $X_1(N)$ no está definido sobre ${\bf Q}$ (pero la cúspide $0$ es). Una forma de ver esto es que la curva elíptica marcada $({\bf C}/({\bf Z}+\tau{\bf Z}),1/N)$ es isomorfa a la curva de Tate marcada $E_q=({\bf C}^\times/q^{\bf Z},e^{2\pi i/N})$ con $q=e^{2\pi i\tau}$ . Cuando dejas que $\tau \to \infty$ se obtiene $q \to 0$ para que $E_q \to ({\bf G}_m,e^{2i\pi/N})$ que no está definido sobre ${\bf Q}$ . Este hecho se explica en Diamond-Im, Formas modulares y curvas modulares Véase 9.3.5 y 9.3.6.

Existe un modelo alternativo $Y_\mu(N)$ clasificación de las curvas elípticas $E$ junto con una inmersión cerrada $\mu_N \hookrightarrow E$ (véase loc. cit. 8.2.2). En este modelo, la cúspide $\infty$ se define sobre ${\bf Q}$ por lo que da una respuesta afirmativa a su segunda pregunta.

Se puede pasar de un modelo a otro con la involución de Atkin-Lehner $W_N$ que se convierte en un isomorfismo definido sobre ${\bf Q}$ - sólo se define sobre ${\bf Q}(\mu_N)$ cuando se considera como una involución de $X_1(N)$ o $X_{\mu}(N)$ . Pero no veo una forma agradable de caracterizar esas funciones que son racionales para el modelo canónico en términos de la $q$ -expansión en $\infty$ .

Answer 2

De hecho, existen ecuaciones explícitas (al menos para el nivel primo) elaboradas en arXiv:math/0010272.