Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente cálculo de límites:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

La única forma que tengo de resolverlo es mirando los límites unilaterales:

$\\$ Desde arriba: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ .

El numerador se aproxima a $1$ con signo positivo. El denominador se aproxima a $0$ con signo positivo. $\implies$ el límite es $\infty$

$\\$ Desde abajo: $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ .

El numerador se aproxima a $1$ con signo positivo. El denominador se aproxima a $0$ con signo negativo. $\implies$ el límite es $-\infty$

Los límites unilaterales no coinciden, por lo que el límite no existe.

Lo que me preocupa es lo siguiente: ¿le daría usted toda la puntuación a una respuesta como ésta? Me parece muy informal, pero no sé cómo argumentar lo mismo formalmente.

Answer 1

Yo le daría la puntuación completa sin dudarlo. Algunos profesores pedirían una $\epsilon$ - $\delta$ prueba pero, en mi opinión, esto sería contraproducente. He aquí algunas razones por las que me gusta su razonamiento:

• Has emparejado el problema hasta su base, cada subobjetivo que tienes es fácil, luego sólo tienes que ensamblar las piezas y has dicho cómo lo haces.

• Calcular el límite de todos los términos que están en tu expresión y luego decir que tomar una fracción preserva el límite (cuando los números límites son amigables con las fracciones) es mucho más natural que adivinar el límite (¡con tu proceso!) y parachutear un $\epsilon$ - $\delta$ prueba que lo hace "formal".

Sin embargo, si tiene alguna duda sobre su prueba, entonces debe ser más preciso y riguroso, lo que no significa necesariamente realizar un $\epsilon$ - $\delta$ prueba. Por ejemplo, si no confías en las herramientas que has utilizado: demuéstralas. Demostrar los dos teoremas límite que has utilizado es mucho mejor que lanzar en paracaídas un $\epsilon$ - $\delta$ prueba. Para las matemáticas creo que un hábito clave para aprender algo es demostrarlo todo hasta que estés convencido y sin que te quede ninguna duda.

Descargo de responsabilidad: esta es mi opinión y no soy maestro/profesor, sólo un estudiante entre el primer y el segundo año del Máster de matemáticas.