Bonitas afirmaciones algebraicas independientes de ZF + V=L (constructibilidad)

Question

Antecedentes y motivación

Siempre me han fascinado los enunciados algebraicos independientes de la teoría de conjuntos ZFC. Uno de esos ejemplos fascinantes viene de considerar $\rm{Ext}^1_\mathbb{Z}(A,\mathbb{Z})$ . Si $A$ es libre entonces este grupo abeliano es trivial. ¿Es cierta la inversa? Lo contrario se conoce como el problema de Whitehead.

Ahora el problema de Whitehead fue demostrado independiente de ZFC por Shelah. Esto es algo insatisfactorio, pero puede demostrarse asumiendo el axioma de constructibilidad ( $V=L$ ). De hecho, hay otras afirmaciones razonables y sencillas en análisis y topología que también son independientes de ZFC pero que se convierten en teoremas una vez que $V=L$ se supone. Otra afirmación es que la dimensión global (también llamada homológica) del anillo $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{C}$ es dos si y sólo si se cumple la hipótesis del continuo, lo que queda implícito al añadir $V=L$ otra vez. Por tanto, el axioma de la constructibilidad me parece muy bien.

Por supuesto, la insatisfacción se mantiene, porque hay otras declaraciones que son independientes de $ZFC + V=L$ (bueno, quizás debería escribir $ZF + V=L$ para ahorrar espacio). Pregunta 18058 y Pregunta 11480 son ejemplos.

Pregunta, en términos generales

Ahora, tengo curiosidad por saber si hay algún conocido algebraico (véase el epílogo) afirmaciones, que suenen razonablemente naturales (use el juicio), que sean independientes de $ZF + V=L$ ? O tal vez independiente de $ZF + A$ donde $A$ es tu axioma teórico de conjuntos favorito independiente de $ZFC$ ? ¿Quizá la teoría de la dimensión homológica sea un terreno fácil para esta búsqueda? ¿Ha trabajado alguien en este campo?

Estoy seguro de que debe haber algunas declaraciones de algunos amable. En la demostración del problema de Whitehead bajo la adición $V=L$ se puede deducir primero algún enunciado combinatorio que requiera poca maquinaria teórica de conjuntos y luego utilizarlo para demostrar el problema de Whitehead. Así que tal vez añadiendo otros axiomas, también se pueden deducir varios artilugios combinatorios y utilizarlos para obtener nuevos enunciados algebraicos que sean independientes del original. $ZFC$ ? Incluso me gustaría oír hablar de enunciados implicados por axiomas adicionales, pero cuya independencia no está demostrada. (Uno de los libros de Devlin lo explica).

(Observación: Aunque con suficiente fuerza bruta, uno debería ser capaz de producir tales cosas sin importar cuántos axiomas nuevos se añadan, me interesaría encontrar suficientes axiomas de la teoría de conjuntos como para que las afirmaciones independientes restantes sonaran tan extrañas que esencialmente carecieran de interés para siempre. Es de suponer que a medida que se añadan más y más axiomas a la teoría de conjuntos, esto sucederá, ¿no?)

Dado que no soy un teórico de conjuntos, agradecería respuestas comprensibles para alguien que conozca los fundamentos de la teoría de conjuntos (digamos un curso típico de primer grado) pero que sepa muy poco sobre forzamiento.

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Posdata

Por "algebraico" me refiero más o menos a algún enunciado en el lenguaje de grupos, anillos, ideales, módulos, campos, etc., que suene algo natural, que no se refiera en sí mismo al axioma adicional (por ejemplo, utilizando algún conjunto cuyo cardinal sea inaccesible, o algo por el estilo). Por tanto, no busco afirmaciones sobre los números reales o la teoría de conjuntos, aunque también son interesantes.

Answer 1

Permíteme abordar la parte de tu pregunta que busca afirmaciones algebraicas independientes de ZFC+V=L.

La situación básica es que en la teoría de conjuntos nuestras herramientas no son tan flexibles para encontrar afirmaciones independientes de ZFC+V=L, a diferencia de encontrar enunciados independientes de ZFC. La razón principal es que no se puede utilizar directamente el forzamiento para demostrar que un enunciado es independiente de ZFC+V=L, porque ninguna extensión de forzamiento no trivial puede satisfacer esta teoría. En pocas palabras, las extensiones forzadas nunca satisfacen V=L. Así, nuestra principal herramienta para probar la independencia sobre ZFC no funciona en absoluto para para demostrar la independencia sobre ZFC+V=L.

Este fenómeno ha llevado a algunos teóricos de conjuntos a considerar la teoría ZFC+V=L como "casi completa", resolviendo esencialmente cada las cuestiones de teoría de conjuntos. Pero, por supuesto, la teoría no es realmente completa---no puede serlo por teorema de la incompletitud---simplemente se siente tan completa en comparación con el omnipresente fenómeno de independencia para ZFC. Sin embargo, se pueden encontrar varias clases de afirmaciones independientes de ZFC+V=L. Permítanme enumerar algunas de ellas.

• Existen, por supuesto, las declaraciones de coherencia, tales como Con(ZFC), que si son verdaderas, son independientes de ZFC+V=L.

• La existencia de ciertos cardinales grandes, como cardinales inaccesibles, Mahlo, hiper-Mahlo, débilmente compactos, indescriptibles, o desplegables, si son consistentes con ZFC, es independiente de ZFC+V=L. La razón es que si existen existen tales cardinales, entonces existen también en L, y truncando el universo muestra la consistencia de la no existencia de tales cardinales. Tal vez algunos de estos grandes cardinales pueden ser emitidos en términos puramente algebraicos, y espero que este sea el ejemplo más prometedor para ti. de ejemplo para ti.

• La existencia de modelos transitivos de cualquier extensión dada de ZFC, como ZFC + `hay un cardinal supercompacto', si es consistente con ZFC, es independiente de ZFC+V=L. La razón, como explico en un reciente artículo sobre el axioma de constructibilidad es que $V$ y $L$ tienen modelos transitivos de las mismas teorías. Así que si existe tal modelo transitivo dentro de un modelo de ZFC, entonces existe tal modelo transitivo dentro de un modelo de ZFC+V=L, y mientras tanto, es consistente con V=L que no haya modelos transitivos de ZFC.

• El número de ordinales $\alpha$ tal que $L_\alpha\models\text{ZFC}$ es altamente independiente (siempre que sea consistente que sea grande, lo que es esencialmente una suposición cardinal). La razón es que si hay, digamos, $\omega^2+\omega\cdot 5+7$ muchos ordinales $\alpha$ y luego cortando en el $\omega^2+\omega\cdot 4+26^{th}$ tal ordinal, el número de tales $\alpha$ cae en consecuencia.

Por desgracia, parece que pocos de estos tipos de tienen una naturaleza esencialmente algebraica. Creo que los mejores ejemplos surgirán simplemente enunciando los grandes axiomas cardinales en términos de tipo algebraico, tal como son.

Answer 2

Se pueden encontrar ejemplos de enunciados algebraicos independientes de ZFC + $V = L$ considerando versiones "absolutas" de proposiciones algebraicas estándar. Esto ocurre, por ejemplo, cuando se buscan grandes objetos fuertemente no isomórficos (es decir, no $L_{\infty \omega}$ -equivalentes) o familias de estructuras absolutamente rígidas, grupos y módulos abelianos absolutamente indecomponibles o $E$ -de cardinalidad arbitrariamente grande. Aproximadamente, hasta el primer $\omega$ -Erdos cardinal $\kappa(\omega)$ en general existen tales familias, pero por encima de $\kappa(\omega)$ no lo hacen.

La belleza de $\kappa(\omega)$ es que si existe, entonces existe en $L$ de modo que la existencia de sistemas absolutamente rígidos en cada cardinal es independiente de ZFC + $V = L$ .

En términos generales, la versión absoluta de una propiedad $P$ se obtiene exigiendo que cualquier estructura $M$ conserva $P$ en cualquier extensión genérica. Esto se puede reformular en términos algebraicos utilizando sistemas de ida y vuelta o equivalencia infinita.

Las preguntas sobre la existencia de este tipo de estructuras fuertemente no isomórficas fueron planteadas por primera vez por Nadel y perseguidas más recientemente por Eklof, Fuchs, Goebel, Herden y Shelah.