Suma de series armónicas alternas ¿Método no válido?

Question

Sea $f(x) = x - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4 + \cdots.$ Entonces $f'(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots = \dfrac{1}{1+x}.$ Integrar, $$f(x) = \int f'(x)\,dx = \ln|1+x|+C.$$ Despreciando el término constante, la serie armónica alternativa se evalúa como $f(1) = \ln2$ como era de esperar, pero ¿por qué se puede ignorar el término constante? ¿Este método no es válido?

Answer 1

Debe ser $$f(x) = \int_0^x f'(t)\,dt = \ln|1+x|.$$