Tengo una pregunta posiblemente tonta sobre el formalismo ADM. Partiendo de una métrica en forma ADM \begin{equation} ds^2 = -N^2dt^2 + q_{ij}(dx^i + N^idt)(dx^j + N^jdt) \end{equation} donde $i,j$ sólo se ejecutan sobre los componentes espaciales. Me preocupa haber entendido mal cómo utilizar la derivada covariante espacial $D_i$ compatible con la métrica espacial $q_{ij}$ . Las fuentes que leí parecían dar a entender que podía formarse enteramente a partir de la métrica espacial $q_{ij}$ y su inversa $q^{ij}$ utilizando la conexión simétrica habitual: \begin{equation} ^{(n - 1)}\Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2}q^{im}(\partial_jq_{mk} + \partial_kq_{jm} - \partial_mq_{jk}) \end{equation} Entonces para una derivada covariante espacial actuando sobre un vector puramente espacial tendríamos \begin{equation} D_kV^m = \partial_kV^m + ^{(n-1)}\Gamma^m_{kn}V^n \end{equation} Entonces, ¿qué ocurre cuando una derivada covariante espacial actúa sobre un vector que no es puramente espacial? ¿Cómo actuaría sobre la componente temporal? ¿Se reduciría a una derivada parcial, como por ejemplo \begin{equation} D_r\xi^t \rightarrow \partial_r\xi^t \end{equation} Perdón por la pregunta, probablemente tonta, pero quiero asegurarme de que entiendo el formalismo.
Respuesta
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Una forma equivalente de definir la derivada 3-covariante $D$ es decir que proyecta la derivada 4-covariante $\nabla$ en la hipersuperficie. Esto se resuelve explícitamente en un apéndice de la obra de Carroll Espaciotiempo y geometría donde escribe $$ D_\mu V^\nu = P^\alpha{}_\mu P^\nu{}_\beta \nabla_\alpha V^\beta $$ (D.48), dado el tensor de proyección $$ P_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + n_\mu n_\nu $$ (D.37). Aquí $\vec{n}$ es la normal unitaria temporal a la superficie. (Si fuera espacial, la " $+$ " se convertiría en un " $-$ " en el operador de proyección).
De inmediato se puede ver que en realidad podemos tomar cualquier 4-vector $\vec{V}$ aplicamos la derivada 3 y obtenemos un rango $(1,1)$ que en principio vive en el espaciotiempo completo (o más bien en su haz tangente+cotangente).
Pero dado el uso de operadores de proyección (o, usando la otra definición, el hecho de que ninguna derivada covariante debería producir objetos que vivan fuera de la submanifold en cuestión, dado que empiezan en ella), cabría esperar que hubiera algunos ceros. De hecho, utilizando las relaciones \begin{align} n_0 & = -N & n^0 & = 1/N \\ n_i & = 0 & n^i & = -N^i/N \end{align} encontramos \begin{align} P^0{}_\mu & = 0 \\ P^i{}_0 & = N^i \\ P^i{}_j & = \delta^i_j. \end{align} Así $$ D_i V^0 = P^\alpha{}_i P^0{}_\beta \nabla_\alpha V^\beta = 0. $$
