Encuentre $ \operatorname{Cov}(X^2,Y^2)$

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ siga $N(0,1)$ y $ \operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$ . Visite $ \operatorname{Cov}(X^2,Y^2)$ .

Esto es lo que sé $$ \operatorname{Cov}(X^2,Y^2)=E[X^2Y^2]-E[X^2]E[Y^2]$$
Desde $E[X^2]= \operatorname{Var}(X)+E^2[X]= \operatorname{Var}(X)$ , $\enspace E[X^2]E[Y^2]= \operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)=1$ .
Pero no sé cómo lidiar con $E[X^2Y^2]$ .
¿Estoy en el buen camino?

Answer 1

Suponiendo que te refieres a $(X,Y)$ es conjuntamente normal donde $X$ y $Y$ tienen medias nulas y varianzas unitarias y $\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$ conocemos la distribución condicional de $Y\mid X$ a saber

$$Y\mid X\sim N(\rho X,1-\rho^2)$$

A continuación, utilizando la ley de la expectativa total,

\begin{align} E(X^2Y^2)&=E\left[E(X^2Y^2\mid X)\right] \\&=E\left[X^2E(Y^2\mid X)\right] \\&=E\left[X^2\left(\operatorname{Var}(Y\mid X)+(E(Y\mid X))^2\right)\right] \\&=\quad\cdots \end{align}