Intento representar los radicales de un número de una forma fácilmente comprensible, programable y calculable. Por ejemplo: la multiplicación es una cadena de sumas, la división es una cuenta de restas, la exponenciación es una cadena de multiplicaciones y los logaritmos son una cuenta de divisiones. Siguiendo estas ideas, ¿hay alguna forma de pensar en calcular radicales de esta manera? Para simplificar, vamos a suponer que sólo estamos trabajando con números enteros para todas estas operaciones.
Respuesta
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Andreas
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Exponenciación
Informalmente, podemos decir que la exponenciación tiene dos inversas. Sea $n,b,p\in\mathbb{N}$ .
$$\underbrace{p=\log_{b} n}_{\text{logarithm}}\quad\Longleftrightarrow\quad n=b^{\,p}\quad\Longleftrightarrow\quad\underbrace{b=\sqrt[p]{n}}_{\text{root}}$$
Vemos aquí que un logaritmo esencialmente es un poder y también una raíz es una base, con respecto a la expresión exponencial original $b^{\,p}$ .
Habiendo aprendido esto, consideremos lo que $n=b^{\,p}$ significa en sentido iterativo para números enteros.
$$n=b\underbrace{\times \cdots\times b}_{p-1\;\text{times}}$$
Obsérvese que la expresión exponencial puede escribirse como producto de $p$ -muchos ejemplares de $b$ o alternativamente $b$ multiplicado por sí mismo $p-1$ veces.
Troncos y radicales
Resulta que ambas operaciones inversas implican división contada. Obsérvese que de la definición anterior podemos derivar
$$b=n\underbrace{\div b\div\cdots\div b}_{p-1\;\text{times}}$$
lo que tiene sentido, ya que la exponenciación es una multiplicación iterada.
La distinción entre logaritmos y radicales radica en el tipo de números que conocemos y con los que podemos trabajar: el logaritmo dice cuántas veces para dividir a través de mientras que la raíz indica qué número por el que dividir.
En otras palabras, piense en $p=\log_b n$ como el recuento de la división y $b=\sqrt[p]{n}$ como el propio divisor.
Cabe destacar que el método de la división contada no puede calcular directamente ni la raíz ni el logaritmo (como era de esperar, ya que tampoco lo hace la resta contada para la división). En cualquier caso, nos da una forma de entender estas operaciones inversas de manera iterativa.
Conclusión
A modo de ejemplo, obsérvese que $125=5^3$ .
¿Cuántas veces tenemos que dividir $125$ por $5$ para terminar con $5$ ? Dos veces. Esto más uno es el logaritmo, es decir. $\log_5 125=3$ .
¿Qué número tenemos que dividir $125$ por $3-1$ veces (dos veces) para obtener ese mismo número? Esto es un poco más complicado, pero haciendo conjeturas obtenemos la raíz, es decir $\sqrt[3]{125}=5$ .
Las ideas anteriores constituyen un buen enfoque conceptual, pero cuando se trata de evaluar radicales y logaritmos, me remito a la relación exponencial original. Si quiero encontrar $\log_5 125$ pregunto "¿5 a qué potencia es 125?". Del mismo modo, para $\sqrt[3]{125}$ Yo preguntaría: "¿Qué base al cubo es igual a 125?".
