Ayuda para definir los límites de la integral múltiple

Question

Estoy luchando con la determinación de los límites de una integral cuádruple y espero que tal vez alguien pueda ayudarme.

Estoy estudiando una situación en la que tengo cuatro variables independientes, distribuidas exponencialmente, digamos, A, B, C y D. Me gustaría calcular la probabilidad

$ P(B < A < C) P (B < D) $

Para calcularlo, creo que necesito integrar sobre la densidad conjunta de las 4 variables, que, dado que todas ellas son independientes entre sí, es simplemente un producto de las funciones de densidad univariantes separadas. Sin embargo, me cuesta definir los límites de la integral. Estaría bien si tuviera que tratar sólo con la primera probabilidad, pero la necesidad de tener en cuenta la segunda me confunde. ¿Cómo defino los límites de la integral para la variable B de forma que se cumplan ambas desigualdades?

Esta es mi idea por ahora, aunque estoy bastante seguro de que no es correcta:

$ \int^{\infty}_0 f(d) \int_0^d f(b) \int_b^{\infty} f(c) \int_b^c f(a) da dc db dd$

Agradecería cualquier pista. Muchas gracias.

Answer 1

Su integral sería la respuesta correcta para la probabilidad $$ \mathbb P(B<A<C, B<D) $$ Y $\mathbb P(B<A<C, B<D) \neq \mathbb P(B < A < C)\cdot \mathbb P (B < D)$ ya que estos eventos son dependientes. Así que calcula cada una de estas dos probabilidades por separado y multiplícalas. $$ \mathbb P(B < A < C) = \int^{\infty}_0 f(b) \int_b^\infty f(a) \int_a^{\infty} f(c) \,dc\, da\, db $$ y $$ \mathbb P(B < D) = \int^{\infty}_0 f(b) \int_b^\infty f(d)\, dd\, db. $$