¿Hay resultados en la "Teoría de los Dígitos"?

Question

Los resultados sobre números relacionados con su representación decimal suelen limitarse a la matemática recreativa. Allí he visto sobre todo preguntas sobre números individuales, como encontrar un número que sea la suma de los cubos de sus dígitos. Pero aún no he visto un estudio sistemático de tales preguntas.

Un resultado que me llevó a plantearme esta pregunta fue el siguiente de la obra de Kurt Hensel " Zahlentheorie ". Allí demuestra que el exponente de mayor potencia de un primo $p$ que divide el número $n$ es $$\frac{s_{n-1} - s_n + 1}{p - 1},$$ donde $s_n$ es la suma de los dígitos de la representación de $n$ con base $p$ . De ello deduce que el poder supremo de $p$ que divide $n!$ es $$\mu_n = \frac{n - s_n}{p - 1}.$$ Se trata de una fórmula diferente y mucho más sencilla que la representación $\mu_n = \sum_{k = 0}^\infty \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$ de Legendre, que suelo ver en la literatura.

Me gustaría saber si hay más resultados de este tipo. Para ser más preciso, defino el campo aún no existente de la "Teoría de los Dígitos" como el estudio de cuestiones de teoría de números con ayuda de la representación posicional de los números, y el estudio de la representación posicional en sí.

¿Existen ya tratamientos sistemáticos de la "Teoría de los Dígitos" o de partes de ella? ¿Existen otros resultados interesantes como el anterior?

Answer 1

No sé si lo que sigue puede calificarse de "resultado interesante" en "teoría de los dígitos", pero Carlo Sanna, un estudiante de la Università di Torino, ha publicado recientemente un trabajo en teoría elemental de números [1] que trata de las propiedades que relacionan las progresiones aritméticas y la función suma de dígitos (en una base arbitraria $b$ ): Incluye algunas referencias y una serie de preguntas que pueden resultarle cuando menos intrigantes.

[1] Carlo Sanna, Sobre progresiones aritméticas de números enteros con una suma distinta de dígitos, Vol. 15 (2012), artículo 12.8.1 (véase aquí ).

Answer 2

Pueden o no ser resultados del tipo que buscas, pero se han deducido fórmulas asintóticas para el valor medio de la suma de dígitos $S_b(n)$ considerada en función de $n$ y se considera una función de $b$ . (Véase este Correo electrónico: .) En concreto, se tiene $$\sum \limits_{n=1}^{N}S_b(n)\sim\frac{(b-1)\log(N)}{2N \log b} \quad \text{as} \; n\to\infty.$$ Para el otro agumento, se tiene el siguiente resultado: $$\sum_{b=1}^{n}S_b(n)=(1-\frac{\pi^2}{12})n^2+C\frac{n^2}{\log(n)}+o\left(\frac{n^2}{\log(n)}\right) \quad \text{as} \; n\to \infty,$$ donde $C$ es la constante $1-\frac{\pi^2}{24}-\frac{1}{2}\sum_{t=2}^{\infty}\frac{\log(t)}{t^2}=0.119\ldots$ .