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Lucas demostró una congruencia para coeficientes binomiales mod a prime $p$ que utiliza la base $p$ dígitos de los dos números del coeficiente binomial. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem . Dickson lo amplió a los coeficientes multinomiales.
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La congruencia de Stickelberger para sumas de Gauss (no confundir con la congruencia de Stickelberger para el discriminante de un polinomio o campo numérico) implica productos de factoriales de base $p$ dígitos. Se discute en la sección 11.3 del libro de Lemmermeyer "Reciprocity Laws from Euler to Eisenstein" y en el capítulo 1 del libro de Lang sobre campos ciclotómicos. La congruencia eleva $p$ -adicalmente a la fórmula de Gross--Koblitz para sumas de Gauss.
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La suma de números, expresada en términos de expansiones de bases, es un ejemplo elemental de cohomología. Más concretamente, la función llevar-dígito es un cociclo. Véase http://www.math.wayne.edu/~isaksen/Expository/carrying.pdf .
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El teorema de Dirichlet sobre los primos en progresión aritmética podría interpretarse en términos de dígitos en casos especiales, por ejemplo, 1/4 de todos los primos tienen el último dígito decimal 1, 3, 7 ó 9 (Dirichlet para el módulo 10), o hay una proporción igual de primos que tienen cualquier cadena de dos dígitos $ab$ no divisible por 2 o 5 como sus dos últimos dígitos (teorema de Dirichlet para el módulo 100). En el otro sentido, con las cifras iniciales, la situación es menos satisfactoria: el conjunto de los primos con la cifra decimal inicial 1 no no tienen una densidad natural dentro del conjunto de todos los primos.
Debes ser cauto a la hora de seguir la "teoría del dígito" dentro de la teoría de números demasiado lejos, ya que no tiene buena reputación, a pesar de los resultados de Lucas, Dickson y Stickelberger. Por ejemplo, hay una reseña en MathSciNet sobre un artículo sobre dígitos que termina con la siguiente observación: "También hay una lista de artículos serios sobre teoría de números, de Lucas, Kummer y otros, que mencionan dígitos (normalmente en una base prima). Pero el crítico no está convencido por ello de que los números de Smith no sean una ratonera por la que se está vertiendo un valioso esfuerzo matemático." Los números de Smith, los números de Keith y los emirps (no es una errata) forman parte de la teoría de números en sentido amplio, pero no en el sentido profesional dominante. Las apariencias a veces engañan: a primera vista, los números automórficos pueden parecer totalmente recreativos, pero están relacionados con el teorema chino del resto, el lema de Hensel y el teorema del mapa de contracción. En otra dirección, las propiedades estadísticas de los dígitos en una base fija para números irracionales o las entradas de fracciones continuas para números irracionales tienen profundas conexiones con la teoría ergódica, y si mañana alguien demostrara $\pi$ es un número normal o que las entradas de fracción continua de $\sqrt[3]{2}$ son ilimitadas (Lang y Trotter hicieron algunos cálculos informáticos al respecto -- véase un apéndice de una edición reciente de "Introduction to Diophantine Approximations" de Lang) sería un avance asombroso, probablemente tanto como si alguien demostrara que las partes fraccionarias de $(3/2)^n$ para $n = 1,2,3,...$ están equidistribuidos en $[0,1]$ . En la pregunta no queda claro si consideras que la "teoría de los dígitos" incluye los aspectos de las representaciones posicionales que no se refieren directamente a los dígitos enteros positivos.
