¿Cómo aplicar el lema A×B de Thompson para mostrar esta bonita característica de los grupos de característica p?

Question

¿Cómo se aplica el lema A×B de Thompson (lema 24.2 sobre página 112 de Teoría de grupos finitos de Aschbacher ) para demostrar este bonito lema (Lemma 31.16 sobre página 160 )?

En el libro, básicamente no entiendo qué deberían ser "G", "A" y "B" (del lema A×B de Thompson) en la segunda frase de la demostración del lema 31.14.1 sobre página 159 . No me importaría que me ayudaran a verificar que satisfacen las hipótesis del lema A×B, y (si no es obvio) que la conclusión realmente implica lo que la prueba dice que implica. Mis intentos directos en este sentido han fracasado, posiblemente porque estoy usando el G,A,B equivocado, o posiblemente sólo un error tipográfico por mi parte, ya que es difícil mantener las letras disjuntas.

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Aquí están los lemas expresados en lenguaje básico por si alguien quiere abordarlo más directamente.

Lema A×B de Thompson: Si $A,B,G$ son subgrupos de un grupo finito con $[A,G], [B,G] \leq G$ ; $[A,B]=1=[C_G(B),A]$ ; $B$ y $G$ son $p$ -grupos; y $A$ no tiene subgrupos normales cuyo índice sea una potencia de $p$ Entonces $[A,G]=1$ .

Definición: Para un grupo finito $G$ y prime $p$ , $O_p(G)$ es la intersección de la Sylow $p$ -subgrupos de $G$ .

Bonito lema: Si $C_G( O_p(G) ) \leq O_p(G)$ entonces para cada $p$ -subgrupo $U \leq G$ se tiene $C_G( O_p(H) ) \leq O_p(H)$ donde $H=N_G(U)$ .

[ Para un grupo finito $X$ y prime $p$ , $C_X(O_p(X)) \leq O_p(X)$ si $F^*(X) = O_p(X)$ . Esto puede demostrarse fácilmente a partir de los resultados anteriores de esa sección del libro. Kurzweil-Stellmacher afirman otra forma del lema bonito: funciona para todos los $H$ subnormal en $G$ y para todos $O_p(G) \leq H\leq G$ . ]

Answer 1

Sea $C = C_G(O_p(H))$ . Desde $U \le O_p(H)$ , $C \le H$ Así que $C = C_H(O_p(H)) \unlhd H$ . Así que para demostrar que $C \le O_p(H)$ tenemos que demostrar que $C$ es un $p$ -grupo. Si no, entonces $O^p(C) \ne 1$ .

Quizás podamos aplicar el lema de Thompson con el $A$ , $B$ y $G$ en Thompson igual a $O^p(C)$ , $O_p(H)$ y $O_p(G)$ . Si esto funciona, entonces la conclusión será que $O^p(C) \le C_G(O_p(G))$ contradiciendo la hipótesis de que $C_G(O_p(G))$ es un $p$ -grupo.

Para las hipótesis de Thompson (de nuevo en la notación de Thompson), obtenemos ciertamente $[A,G],[B,G] \le G$ , $[A,B]=1$ , $B$ y $G$ son $p$ -grupos, y $A$ no tiene ningún subgrupo normal de índice una potencia de $p$ . Queda $[C_G(B),A]=1$ para comprobar, o en la notación del Lema de Niza, $[C_{O_p(G)}(O_p(H)),O^p(C)]=1$ . Pero $C_{O_p(G)}(O_p(H)) = C \cap O_p(G) \le H \cap O_p(G) \le O_p(H)$ que centraliza $C$ por definición, por lo que tenemos la condición final.

Answer 2

La respuesta de Derek es perfecta. Para mi memoria posterior, permítanme señalar las hipótesis clave:

Proposición: Supongamos que $X$ es un grupo finito, $H \leq X$ es un subgrupo tal que $C_X(O_p(H)) \leq H$ . Entonces $A=O^p( C_X(O_p(H)) )$ , $B=O_p(H)$ y $G=O_p(X)$ satisfacen las hipótesis del lema de Thompson. Por tanto, $[A,G]=1$ y $O^p( C_X(O_p(H)) ) \leq C_X( O_p(X) )$ .

Prueba: La única parte un poco complicada es verificar $[A,C_G(B)]=1$ : $$[A,C_G(B)] \leq [ C_X(O_p(H)), C_{O_p(X)}(O_p(H)) ] \leq \\ [C_X(O_p(H)), H \cap O_p(X) ] \leq [ C_X(O_p(H)), O_p(H) ] = 1.$$ Aquí $A \leq C_X(O_p(H))$ da el primero, el siguiente $C_Y(O_p(H)) \leq H \cap Y$ (la hipótesis clave para $H$ ), entonces una característica general de los subgrupos $H \cap O_p(X) \leq O_p(H)$ y, por último, la definición de centralizador. $\square$

Ahora bien $X$ es un grupo finito con $C_X(O_p(X))\leq O_p(X)$ y $H \leq X$ es un subgrupo que cumple $C_X(O_p(H)) \leq H$ entonces la conclusión es más sólida: $O^p( C_X(O_p(H)) ) \leq O_p(X)$ es un $p$ -grupo (sin normal $p$ -cocientes) por lo que $C_H(O_p(H)) \leq O_p(H)$ es una normal $p$ -subgrupo de $H$ .

Corolario: Supongamos que $X$ es un grupo finito, $H \leq X$ es un subgrupo tal que $C_X(O_p(H)) \leq H$ y $C_X(O_p(X)) \leq O_p(X)$ . Entonces $C_X(O_p(H)) \leq O_p(H)$ .

Algunos ejemplos en los que se cumple la hipótesis clave:

• $H=N_X(U)$ para algunos $p$ -subgrupo $U$ de $X$
  [ Desde $U \leq O_p(H)$ y cualquier cosa centralizadora $U$ ciertamente lo normaliza. ]
• $H \geq O_p(X)$ en el corolario
  [ Desde $O_p(H) \geq O_p(X)$ y $C_X(O_p(H)) \leq C_X(O_p(X)) \leq O_p(X) \leq O_p(H)$ ]

En $H\unlhd\unlhd X$ se entiende que $F^*(H) = F^*(X) \cap H$ por lo que la hipótesis es en el corolario, pero rara vez en otro caso (por ejemplo $H<X$ y $p$ no dividir el orden de $\operatorname{Fit}(H)$ por ejemplo).