En $C_v=\left.\frac {\delta Q} {dT}\right|_v=\left.\frac {\partial E} {\partial T}\right|_v$ ?

Question

La definición de calor específico a volumen constante es $C_v=\left.\frac {\delta Q} {dT}\right|_v$ pero a veces encuentro esta expresión en su lugar: $C_v=\left.\frac {\partial E} {\partial T}\right|_v$ . Supongo que la razón por la que se utilizan estas dos expresiones es que son equivalentes, pero no sé cómo demostrarlo.

Intenté demostrar la equivalencia por mí mismo pero sólo pude hacerlo suponiendo que $\delta W=-PdV$ de hecho en este caso: $dE=\delta Q +\delta W=\delta Q - PdV \rightarrow \left.dE\right|_v=\delta Q$ así que sigue $C_v=\left.\frac {\delta Q} {dT}\right|_v=\left.\frac {\partial E} {\partial T}\right|_v$ .

Sin embargo, cuando no asumo $\delta W=-PdV$ me resulta imposible demostrar que $C_v=\left.\frac {\delta Q} {dT}\right|_v=\left.\frac {\partial E} {\partial T}\right|_v$ . Consideremos por ejemplo el caso de un material paramagnético, ya que puede ser magnetizado la expresión para el trabajo debe ser $\delta W=-PdV+BdM$ donde $M$ es la magnetización y $B$ es el campo magnético. Incluso en este caso creo que la expresión $C_v=\left.\frac {\partial E} {\partial T}\right|_v$ es válido. ¿Por qué?

Nota: en el último ejemplo creo que las variables independientes son $V$ y $T$ mientras que el número de partículas y el campo magnético se toman constantes y que $M=M(V,T)$

Answer 1

$\delta Q$ es una forma diferencial no exacta. Según la Primera Ley de la Termodinámica $$\delta Q=dU+\delta W$$ Dónde $\delta W$ es la forma diferencial de trabajo y $dU$ es el diferencial del interno, que es una forma diferencial exacta. Sólo para el trabajo mecánico $\delta W=pdV$ .

Consideremos un $pVT$ sistema. Para definir el calor específico a volumen constante, consideremos $(T,V)$ como variables independientes, entonces la forma diferencial térmica es

$$\delta Q=\underbrace{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV+\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT}_{dU}+p(T,V)dV$$ Calor específico a volumen constante $C_v$ se define como componente a lo largo de $dT$ de la forma diferencial $\delta Q^1$ es decir $$C_v=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \tag{A}$$

Para enfatizar la definición, escribiendo la forma diferencial de calor de forma más general como $$\delta Q=f(T,V)dT+g(T,V)dV$$

El calor específico a volumen constante es definido como la función $f(T,V)$ . Como puede verse más arriba, este coeficiente es igual a $(A)$ .

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$^1$ _{Esta es la razón por la que la otra variable es <span class="math-container">$V$</span> y no <span class="math-container">$p$</span> para que el volumen se fije al diferenciar con respecto a T.}

Answer 2

La definición formal del calor específico a volumen constante es

$$c_{v}=\biggl (\frac{\partial u}{\partial T}\biggr )_v$$

Tu última expresión no muestra que la derivada parcial sea a volumen constante.

Espero que esto ayude.