Evalúe $\lim_{n\to\infty} \int_{n}^{\infty}\frac{n^2\arctan(x)\arctan(\frac{1}{x})}{n^2+x^2}$

Question

Necesito evaluar $$\lim_{n\to\infty} \int_{n}^{\infty}\frac{n^2\arctan(x)\arctan(\frac{1}{x})}{n^2+x^2}$$

Traté de aplicar DCT, y este es mi trabajo $$ \lim_{n\to\infty} \int_{n}^{\infty}\frac{n^2\arctan(x)\arctan(\frac{1}{x})}{n^2+x^2}dx=\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{n^2\arctan(x)\arctan(\frac{1}{x})}{n^2+x^2}\mathbb{1}_{[n,\infty)}dx$$ Entonces tenemos $$\begin{split} \frac{n^2\arctan(x)\arctan(\frac{1}{x})}{n^2+x^2} \mathbb{1}_{[n,\infty)}&\leq \frac{n^2\arctan(x)\arctan(\frac{1}{x})}{n^2} \mathbb{1}_{[n,\infty)} \\ &\leq \arctan(x)\arctan(\frac{1}{x}) \\ &\leq\frac{{\pi}^2}{16} \end{split}$$ Pero $\frac{{\pi}^2}{16}$ no es integrable en $[0,\infty)$ . ¿He cometido algún error? ¿Se puede resolver esta tarea con este método?

Answer 1

Uno tiene: \begin{align} I_n:=\int^\infty_n \frac{n^2\arctan(x)\arctan(1/x)}{n^2+x^2}\,dx=\int^\infty_n \frac{\arctan(x)\arctan(1/x)}{1+(x/n)^2}\,dx \end{align} Sustituir $t=x/n$ para que $n dt=dx$ y por lo tanto: \begin{align} I_n = \int^\infty_1 \frac{n\arctan(nt)\arctan\left(\frac{1}{nt}\right)}{1+t^2}\,dt \end{align} Tenemos para $t>1$ y $n>1$ : \begin{align} 0<n\arctan\left( \frac{1}{nt}\right)<n\left( \frac{\pi}{2}-\arctan(nt)\right)<n\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{nt}\right)=\frac{1}{t} \end{align} Dónde encontrar la última desigualdad aquí . Además $0<\arctan(nt)\leq \frac{\pi}{2}$ desde $\arctan(\cdot)$ aumenta a $\frac{\pi}{2}$ . Así que combinando ambas desigualdades obtenemos: \begin{align} 0<\frac{n\arctan(nt)\arctan\left(\frac{1}{nt}\right)}{1+t^2}\leq \frac{\pi}{2}\frac{1}{t(1+t^2)} \end{align} Casualmente, el lado derecho es también el límite del integrando. Así que podemos aplicar Teorema de convergencia dominada sin ningún problema y conseguir: \begin{align} \lim_{n\to\infty}I_n = \frac{\pi}{2} \int^\infty_1 \frac{1}{t(1+t^2)}\,dt = \color{red}{\frac{\pi}{4}\ln(2)} \end{align} La última integral es elemental y puede hacerse por descomposición de fracciones parciales o de forma mucho más inteligente sustituyendo $t=1/y$ como señaló Ron Gordon.