Hay un primer entre cada par consecutivo de números triangulares?

Question

Entre dos números triangulares hay al menos un número primo. Hay una prueba matemática para esta afirmación?

Answer 1

Estándar de respuesta: hay pruebas de que las declaraciones de este tipo: por lo suficientemente grandes números reales $x,$ no es una de las principales entre el $x$ $x + x^{21/40};$ la parte importante es que $21/40$ es mayor que $1/2.$ Aquí, como en todos los resultados, nadie sabe cómo de grande "suficientemente grande" debe ser. Tales resultados son colectivamente llamados "ineficaz", ya que no puede ser utilizado para probar nada acerca de las pequeñas y medianas números. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap#Upper_bounds

Answer 2

Tenga en cuenta que si $m \geq 2$ $T_{n-1} < m^2 $

$$(n-1)n < 2 m^2 $$

A partir de aquí es fácil deducir que $n < m$.

También tenga en cuenta que $T_{n+1}-T_n=n+1$.

Por lo tanto, para cada entero positivo $m \geq 2$ si $n$ es el entero más grande, de modo que $T_{n-1} <m^2$, luego tenemos la tenemos encima

$$T_{n+1} = T_n+n+1 < T_{n-1}+2n+1< m^2+2m+1$$

Esto demuestra que

$$m^2 \leq T_n <T_{n+1}< (m+1)^2$$

Esto demuestra que la declaración de pedir, de ser cierto, implicaría la conjetura de Legendre.

Answer 3

Con huecos entre consecutivos de números triangulares, para $x \to \infty$ es equivalente a los espacios entre los consecutivos cuadrados, lo que significa un primer entre el$x$$x + 2x^{1/2}$. Al $x$ se hace demasiado grande, el número dos es menor que $x^{1/40}$. Así que, a continuación, la prueba de $x + x^{21/40}$ no se aplicará a las brechas entre consecutivos de números triangulares. Esta es la razón por la que es "ineficaz", ¿verdad?