En la página de la wikipedia sobre un puente browniano ( https://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge ), dice que el puente browniano viene dado por $B(t) = W(t) - \frac{t}{T}W(T)$ . Continúa diciendo que otra representación de esto viene dada por $B(t) = \frac{T-t}{\sqrt{T}}W(\frac{t}{T-t}).$ ¿Son exactamente iguales? No veo cómo pueden coincidir exactamente.
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user103292
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Wikipedia dice que dado un proceso de Wiener $W(t)$ los dos procesos que mencionas son puentes brownianos. Pero no son necesariamente el mismo puente browniano. Análogamente, si $X$ es una variable aleatoria distribuida normalmente, entonces $e^X$ y $e^{-X}$ se distribuyen lognormalmente, pero no son iguales.
digsrafik
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Los dos procesos son iguales en derecho pero no el mismo pathwise .
Un puente browniano, digamos en $[0,1]$ es, por definición, un proceso $(X_t)$ tal que
- $(X_t)$ tiene trayectorias muestrales continuas casi con toda seguridad.
- $(X_t)$ es gaussiano, es decir $(X_{t_1},\cdots, X_{t_k})$ tiene una distribución conjunta gaussiana para cualquier $t_1,\cdots, t_k$ (con media cero).
- Para cualquier $t_1 \leq t_2$ , $Cov(X_{t_1}, X_{t_2}) = t_1 (1-t_2)$ .
Si $(W_t)$ es un movimiento browniano estándar, entonces está claro que, $$ B^{(1)}_t = W_t- {t}W_1, \mbox{ and } B^{(2)}_t = (1-t) W_{\frac{t}{1-t}} $$ son ambos puentes brownianos. En particular, para cualquier $t_1,\cdots, t_k$ los vectores aleatorios $(B^{1}_{t_1},\cdots, B^{1}_{t_k})$ y $(B^{2}_{t_1},\cdots, B^{2}_{t_k})$ tienen la misma distribución. En otras palabras, $B^{(1)}_t$ y $B^{(2)}_t$ son iguales ante la ley.
También está claro que no son el mismo camino. Para una trayectoria de muestra dada de $W$ que es una función continua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ las trayectorias correspondientes $$ g^{1}(t) = f(t) - t f(1) \; \mbox{ and } \; g^{(2)}_t = (1-t) f( \frac{t}{1-t}), $$ de $B^{1}_t$ y $B^{2}_t$ respectivamente, no son lo mismo.
Ambos $B^{1}_t$ y $B^{2}_t$ son débil soluciones a la SDE $$ dX_t = -\frac{t}{1-t} X_t dt + dW^{0}_t, $$ impulsados por diferentes movimientos brownianos $W^{0}_t$ ninguna de las cuales es $W_t$ .
(Un análogo trivial para variables aleatorias sería el siguiente: Sea $X$ sea una variable aleatoria, definida en algún espacio de probabilidad, que tenga $N(0,1)$ distribución. Entonces $-X $ también tiene $N(0,1)$ distribución--- $X$ y $-X$ son iguales ante la ley. Por otra parte, $X$ y $-X$ no son iguales casi con seguridad, o "casi con seguridad de camino" en un sentido trivial).
