Uso de la diagonalidad en la notación de Einstein

Question

Dada una matriz diagonal $D$ con elementos diagonales dados por el vector $\mathbf{d}$ . Representando esto en notación de Einstein se obtiene

$$ D_{ij} = \delta_{ijk} d_k $$

donde

$$ \delta_{ijk} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j = k \\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases} $$

Si ahora aplico esto en una multiplicación de matrices, por ejemplo

$$ (AD)_{lj} = A_{li} D_{ij} = A_{li} \delta_{ijk} d_k = A_{li} d_i $$ o $$ (ADA)_{ml} = A_{mi} D_{ij} A_{jl} = A_{mi} \delta_{ijk} d_k A_{jl} = A_{mi} d_i A_{il} $$

El primer ejemplo tiene sentido desde el punto de vista de la entrada, pero sólo si no hay suma sobre $i$ . Además, los índices del LHS y del RHS ya no coinciden. Lo mismo ocurre con el segundo ejemplo, pero sólo si se suman los tres $i$ 's.

Esto obviamente viola la notación de Einstein, pero no veo en qué paso se hace una suposición falsa. Por lo tanto, mis preguntas son:

1. ¿Dónde me equivoco en mi razonamiento?
2. ¿Hay alguna otra manera de explotar el hecho de que $D$ es diagonal (en notación de índices)?

Answer 1

Lo que se hace al calcular el valor de $(AD)_{lj}$ equivale a hacer lo siguiente

$$ D_{ij} = \delta_{ijk}d_k \color{red}{\stackrel{!!}{=}} d_i $$

que muestra claramente el problema mucho antes de lo que te habías dado cuenta: expandiendo el símbolo $\delta_{ijk}$ es la cuestión aquí. La notación de Einstein es útil, pero no significa que tengas que usarla en todas partes, aquí tienes una opción

\begin{eqnarray} (A D)_{lj} &=& \sum_{i}A_{li}\color{blue}{D_{ij}} = \sum_iA_{li}\color{blue}{\delta_{ij}d_j} = A_{lj}d_j ~~~\mbox{(sum not implied)} \end{eqnarray}