Determine si los siguientes elementos de $S_6$ son de la forma $\sigma^2$ .

Question

El problema:

Sea $S_6$ sea el grupo simétrico de seis letras. Determinar si los siguientes elementos de $S_6$ son cuadrados (es decir, de la forma $\sigma^2$ ).

(a) $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4)$ .

(b) $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4 \hspace{1mm} 5)$ .

(c) $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3)(4 \hspace{1mm} 5)$ .

Mi progreso:

(a) es clara. $\sigma^2$ debe ser una permutación par, y $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4)$ es una permutación impar. Por lo tanto, no puede haber $\sigma \in S_6$ tal que $\sigma^2 = (1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4)$ .

(b) no está tan claro para mí. $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4 \hspace{1mm} 5)$ es, de hecho, una permutación par, por lo que la paridad no me ayuda aquí. He agotado prácticamente todas mis herramientas. Estoy básicamente en el punto de ensayo y error ahora (por ejemplo, tratando de escribir $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4 \hspace{1mm} 5)$ como el cuadrado de diferentes permutaciones) que me está llevando a ninguna parte rápidamente. Básicamente, no estoy seguro de qué más se puede decir acerca de un elemento de la forma $\sigma^2$ aparte del hecho de que es par.

(c) me da los mismos problemas que (b). [EDIT: No importa. $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3)(4 \hspace{1mm} 5)$ es impar ya que tiene un número impar de ciclos de longitud par; por lo que no puede ser de la forma $\sigma^2$ .]

Answer 1

Pista: Si $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4 \hspace{1mm} 5) = \sigma^2$ entonces $\sigma^{10}$ es la identidad, por lo que su orden debe dividir a 10. También, $\sigma$ puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos. ¿Cuál sería su orden en función de los órdenes de esos ciclos? ¿Cuáles tendrían que ser los órdenes de esos ciclos? ¿Es posible que un producto de ciclos disjuntos de esos órdenes tenga su cuadrado igual a $(1 \hspace{1mm} 2 \hspace{1mm} 3 \hspace{1mm} 4 \hspace{1mm} 5)$ ?

Edita: A la luz de la observación de Señor tiburón de lo desconocido en su primer comentario más arriba (lo que se deduce del hecho de que si $p^{2n+1} = I$ entonces $p = p^{2n+2} = \left(p^{n+1}\right)^2$ ), intentar responder a las preguntas que he planteado anteriormente resulta ser una forma bastante torpe de abordar el problema.

Answer 2

$(12345)$ genera un subgrupo cíclico $H$ de orden $5$ . Dado que los cuadrados de un grupo abeliano son un subgrupo, los cuadrados $S$ en $H$ son un subgrupo de $H$ . Desde $(12345)^2 \in S$ tenemos $S \neq \{id\}$ . Desde $5$ es primo, se deduce por el teorema de Lagrange que $|S|=5$ Así que $H=S$ y hemos terminado.