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La evaluación de la recepción de (epsilon, delta) definiciones

Hay mucha discusión tanto en la comunidad de la educación y de las matemáticas de la comunidad sobre el desafío de (epsilon, delta) definiciones de tipo de análisis real y el estudiante de la recepción de la misma. Mi impresión ha sido que la comunidad matemática, a menudo tiene una opinión optimista sobre el éxito de los estudiantes de la recepción de este, mientras que la comunidad de la educación a menudo se insiste en las dificultades y sus "desconcertante" y "inhibidor" efecto (ver más abajo). Una típica perspectiva educativa sobre este tema fue recientemente expresada por Pablo Dawkins en los siguientes términos:

2.3. Estudiante con dificultades reales de análisis de las definiciones. Los conceptos de límite y continuidad han planteado bien documentado dificultades para los estudiantes, tanto en el cálculo y análisis a nivel de instrucciones (por ejemplo, Cornu, 1991; Cottrill et al., 1996; Ferrini-Mundy Y Graham, 1994; Tall Y Vinner, 1981; Williams, 1991). Los investigadores identificaron las dificultades resultantes de una serie de cuestiones: el lenguaje de los límites (Cornu, 1991; Williams, 1991), múltiples cuantificación en la definición formal (Dubinsky, Elderman, & Gong, 1988; Dubinsky & Yiparaki, 2000; Swinyard & Lockwood, 2007), implícito dependencias entre cantidades en la definición (Roh Y Lee, 2011a, 2011b), y persistente nociones relativas a la existencia de cantidades infinitesimales (Ely, 2010). Límites y continuidad son a menudo expresado como formalizaciones de acercarse y de la conectividad, respectivamente. Sin embargo, la norma, definiciones formales de la pantalla mucho más sutileza y complejidad. Que la complejidad a menudo desconcierta a los estudiantes que no perciben la necesidad de tantas partes móviles. Por lo tanto el aprendizaje de los conceptos y definiciones formales de análisis real están cargados de ambos con la necesidad de adquirir habilidad con las herramientas conceptuales, tales como la cuantificación y para ayudar a los estudiantes a percibir conceptual de la necesidad de estas herramientas. Esto significa que los estudiantes a menudo no pueden coordinar su concepto de la imagen con el concepto de definición, la inhibición de su aculturación en las avanzadas de la práctica de matemáticas, que enfatiza el concepto de definiciones.

Ver http://dx.doi.org/10.1016/j.jmathb.2013.10.002 para el artículo completo (tenga en cuenta que el artículo en línea proporciona enlaces a los documentos citados anteriormente).

A modo de resumen, en el campo de la educación, investigadores decididamente tienen no llegan a la conclusión de que epsilon, delta definiciones son "simples", "claro", o de "sentido común". Mientras tanto, los matemáticos a menudo se expresa en contrario sentimientos. Dos ejemplos se dan a continuación.

...uno no puede enseñar el concepto de límite, sin el uso de la épsilon-delta definición. La enseñanza de tales ideas intuitivamente no hace que sea más fácil para el estudiante que hace que sea más difícil de entender. Bertrand Russell ha llamado la definición rigurosa de límite y de convergencia de los mayores logros del intelecto humano en 2000 años! Los Griegos fueron desconcertados por las paradojas que implican movimiento; ahora todos se ponen de manifiesto, porque contamos con una completa comprensión de los límites y la convergencia. Sin la adecuada definición, las cosas son difíciles. Con la definición, que son simples y claros. (ver Kleinfeld, Margaret; Cálculo: Reformado o Deformada? Amer. De matemáticas. Mensual 103 (1996), no. 3, 230-232.)

Siempre les digo a mis cálculo los alumnos que las matemáticas no es esotérico: es de sentido común. (Incluso el conocido epsilon, delta definición de límite es de sentido común, y por otra parte es central a los importantes problemas prácticos de aproximación y estimación.) (ver al Obispo, Errett; Reseña del Libro: Primaria cálculo. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 83 (1977), no. 2, 205--208.)

Cuando uno compara la estimación optimista común en el aprendizaje de matemáticas de la comunidad y el sombrío evaluaciones comunes en la educación de la comunidad, a veces uno se pregunta si están hablando de la misma cosa. ¿Cómo cerrar la brecha entre las dos evaluaciones? Acaso están tratando con distintas poblaciones estudiantiles? Hay quizás de estudios de la educación proporcionando más optimista de las evaluaciones de Dawkins " el artículo sugeriría?

Nota 1. Ver también http://mathoverflow.net/questions/158145/assessing-effectiveness-of-epsilon-delta-definitions

Nota 2. Dos enfoques han sido propuestos para explicar esta diferencia de percepción entre la comunidad educativa y las matemáticas de la comunidad: (a) ejemplo de sesgo: los matemáticos tienden a basar su evaluación de la eficacia de estas definiciones en términos de la parte más activa de los estudiantes en sus clases, las cuales son a menudo los mejores estudiantes; (b) estudiante/profesor de la brecha: los matemáticos de la base de su evaluación en su propia apreciación científica de estas definiciones como la de "derecho", llegó después de una considerable inversión de tiempo y se elimina de la original experiencia de aprendizaje de esas definiciones. Ambos de estos suena plausible, pero sería interesante tener la investigación de campo en apoyo de estos enfoques.

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user4894 Puntos 859

Mi sensación es que el mayor problema con el epsilon-delta definición es que esta es la primera vez que los estudiantes han visto alguna vez los cuantificadores universal y existencial. Por el tiempo que usted dice, "Por cada epsilon existe un delta," ya ha perdido el 95% de su audiencia, incluso antes de llegar a la final del negocio de la proposición.

Y, por supuesto, el otro problema es con el menor caso de las letras griegas. Los estudiantes han estado viendo x, y, z, t y de todas sus vidas; y de la nada se les muestra epsilon y delta.

En otras palabras, es la forma básica de la definición, que puede ser intimidante y confuso para los estudiantes; no tanto la idea, que es simplemente que usted puede restringir arbitrariamente la salida adecuada de restricción de la entrada.

Tal vez si los instructores se inició con la comprensión conceptual y, a continuación, pasamos a explicar "para todo" y "existe" y dándoles una suave introducción a las letras griegas usadas como variables, las cosas mejorarían.

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String Puntos 8937

En su respuesta, Paramanand Singh sugiere que los estudiantes de primer año no están familiarizados con ciertos conceptos y métodos que son requisitos previos para la comprensión de $\varepsilon-\delta$. Por otro lado Singh sugiere, que una vez que estos conceptos y métodos han sido correctamente colocados en someones mente, se convierten en parte de que las personas de la intuición sobre el tema. Aquí la intuición es una palabra que me sustituido por Singh uso de la palabra natural. Espero que esto sea una buena cuenta!

Esta sugerencia, tal vez, encaja muy bien con la perspectiva se sugiere en el artículo "Sobre La Doble Naturaleza de la Matemática Concepciones" por Anna Sfard (publicado en Estudios Educativos en Matemáticas 22, 1-36, 1991). Ella sostiene que el proceso de hacer algoritmos de las operaciones conduce a través de las etapas de la progresiva maduración de percepciones, en última instancia, la identificación de nuevos objetos. Tal vez estudiante de primer año que respecta a $\varepsilon,\delta$ pesados algorítmica de los procesos, mientras que la madurado vista se vea como un concepto, un objeto.

En su artículo, A. Sfard también hace referencia a Miller, G. A.: 1956, "El mágico número siete más menos dos," lo que sugiere que uno sólo puede hacer malabares con alrededor de siete bloques de información en la "memoria de trabajo" en el tiempo. Así que para la formación de los $\varepsilon,\delta$estudioso-el concepto de $\varepsilon,\delta$ es sólo un objeto, un trozo de información, mientras que para una persona sin entrenamiento cada símbolo, cada cuantificador, ocupa espacio en la "memoria de trabajo" lo que hace a la comprensión casi imposible en esa etapa?

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Paramanand Singh Puntos 13338

Primero permítanme centrarme en las razones detrás de la dificultad en la asimilación de la $\epsilon, \delta$ definiciones.

Para cualquier principiante en el cálculo, de la asimilación de la $\epsilon, \delta$ definición es un reto. Rara vez he visto a ningún estudiante para quien esta definición parece natural. No creo que nadie discutiría que dado el hecho de que estas definiciones se llegó después de un largo tiempo de Newton inventó el cálculo.

Sin embargo, las razones para la dificultad en la asimilación de estas definiciones no está relacionado tanto con las definiciones, sino más bien el enfoque de presentar a los estudiantes. Un estudiante que está aprendiendo cálculo por primera vez normalmente tiene experiencia en el algebraico manipulación, pero tiene menos interacción con relaciones de orden o de las desigualdades. Y otro bloque es el concepto de "infinito". Un estudiante debe estar capacitado en primer lugar en el orden de las relaciones y la comprensión de algunos de "infinito". Puedo ilustrar mi punto con dos ejemplos:

1) Un estudiante de 13 años de edad, les sería muy fácil de resolver, $x + 5 = 3$ y, al mismo tiempo que es un poco difícil de solucionar $|x - 5| < 3$.

2) Un estudiante de 16 años de edad, sería fácil demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado es $2$. Pero al mismo tiempo va a ser difícil demostrar que podemos encontrar como una buena aproximación racional a $\sqrt{2}$ como queremos especialmente si usted no permitir que él la raíz cuadrada método de extracción para encontrar aproximación decimal de $\sqrt{2}$ a cualquier número de dígitos.

Yo diría que hay una enorme brecha entre la "algebraico de la manipulación de las expresiones" y "reconocimiento de las desigualdades y de la infinita naturaleza de los números enteros y racionales" en términos de técnicas de solución de problemas y relacionados con el marco conceptual. A menos que este vacío se llena por el estudiante por sí mismo o a través de sus maestros, es natural esperar que el estudiante les resulta difícil aceptar la $\epsilon, \delta$ definiciones.

Me vienen a la pregunta que se hace aquí. Las matemáticas de la comunidad en general se siente que estas definiciones de cálculo son las más adecuadas y natural y son un gran éxito en la enseñanza de la enorme cantidad de nuevos "análisis matemático". Esto es simplemente porque una vez que se han entendido estas definiciones no se puede pensar en cualquier opción más natural de cualquier otra definición. Después de la primera pelea con $\epsilon, \delta$ es más, la sensación general es que estas definiciones son las más sencillas y potentes herramientas para enseñar estos temas. Mi propio punto de vista es el mismo pero no puedo olvidar mis días cuando yo estaba luchando con $\epsilon, \delta$ y cruzó el abismo con la ayuda de Hardy de la Matemática Pura.

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StasK Puntos 390

Esto es más probable que una no-respuesta, pero mi (personal, fuerte, muy sesgada, otro de matemáticas de la cultura de la infusión) opinión es que la confusión se deriva de cosas que se presentan en el cálculo de las clases en un extraño ilógico orden, empezando con cosas complicadas (límites de cambio de funciones, es decir, los derivados) y luego, como una retrospectiva, volver a simper cosas (los límites de las secuencias).

En la enseñanza de matemáticas para los estudiantes de escuela primaria básicos de la aritmética, no podemos lanzar $\pi$ $\sqrt{2}$ ${\rm e}^\pi$ a ellos. En lugar de eso, hablamos de 1, 2, 3, 1+2=3,$3 \times 4=12$, a continuación, introducir la división... bueno, todos sabéis. Números naturales es un conjunto más sencillo de digerir que los números racionales, que a su vez, son más fáciles de digerir que los números reales. Ahora, piense acerca de los límites: son límites en los números naturales de la forma más fácil de digerir que los límites en los números reales?

Mientras que usted está pensando acerca de ello, echa un vistazo a Rudin del libro:

  1. Reales y números complejos
  2. Elementos de la teoría de conjuntos
  3. Secuencias y series
  4. La continuidad
  5. La diferenciación
  6. La de Riemann-Stieltjes integral

etc. Él va en un orden lógico, desde los objetos más simples a los más complejos: el real de la línea en primer lugar, a continuación, las asignaciones de números naturales a la línea real (secuencias), y los límites de estos; a continuación, las asignaciones de reales de reales (funciones) y los límites de estos (continuidad). Todos los cálculos libros que han sido expuestos en mi... uhm... la infancia (esto fue en la Unión Soviética, por lo que los libros estaban en ruso) fue en este orden. Ningún autor trató de saltar por delante de la locomotora, y tratar de entusiasmar a los alumnos con derivados. El estudio de las secuencias de primera ayuda a establecer el concepto de límite. Menos patologías son posibles con estos: no puede haber saltos en el infinito, a diferencia de decir lo $\mathop{\rm sign} x$ lo hace en cero. Una vez que los estudiantes aprendan a operar con los límites de las secuencias (lo que debe $N$, para que $1/n^2$ es de menos de $10^{-6} \, \forall n\ge N$?), y entender cuantificadores, usted puede comenzar a empujar en el mundo de funciones.

Para convertir mi no-respuesta a la semi-respuesta, tengo curiosidad de ver si hay diferencias en la recepción de la Rudin la secuencia del material con el de Stewart secuencia.

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ellya Puntos 8756

Realmente apenas estoy haciendo mis opiniones sobre $\epsilon$-$\delta$, y como creo que debería ser introducido a las personas que no han visto antes.

Yo creo que toda la dificultad de que el $\epsilon-\delta$ enfoque plantea es la idea de una constante que depende de algo, ya que antes de pregrado de nivel (es decir, Un nivel) constantes son constantes, y no nos fijamos en situaciones en las que puede cambiar (Debido a un cambio en otra constante).

Las únicas veces en que las cosas parecen cambiar (a primera vista) es cuando vemos una de las funciones, donde la variable de cambios y los cambios de la función, y esto parece natural.

Pero luego, cuando se nos acercó con una idea que algunos cambios constantes, y luego otro deben parece muy extraño.

Estoy por terminar mi Licenciatura y me siento muy bien versado en la $\epsilon-\delta$ tipo de argumentos, pero para entender tenía que llegar allí por mi cuenta, y creo que este es el camino a seguir, no podemos entender las cosas de alguien que te diga. Usted necesita para explorar usted mismo.

Pero la parte de las explicaciones que fue siempre falta, es el hecho de que $\delta$ depende de $\epsilon$, y creo que las definiciones deben ser escritas en la forma $\forall\epsilon\gt 0,\exists \delta(\epsilon)$...

Todo el escenario podría argumentar en un desafío de la formulación, para que alguien pueda ver realmente cómo $\delta$ debe cambiar si $\epsilon$ cambios.

Por ejemplo, digamos que queremos demostrar que la función de $f(x)$ es continua en a $x_0$, debemos mostrar que $\forall\epsilon\gt 0,\exists\delta(\epsilon):|x-x_0|\lt\delta(\epsilon)\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|\lt\epsilon$.

A continuación, se argumenta en este sentido: alguien nos da el desafío de $\epsilon=\epsilon^*$

A continuación, nos encontramos con un valor de $\delta$ que depende de la $\epsilon^*$ , de modo que para esta $\epsilon^*$si $x\in(x_0-\delta(\epsilon^*),x_0+\delta(\epsilon^*))$

A continuación,$f(x)\in(f(x_0)-\epsilon^*,f(x_0)+\epsilon^*)$.

Ahora que resume en no de los términos matemáticos. Tenemos uno "$\delta$" que tiene para nuestro "reto" ($\epsilon^*$) que hace que nuestra condición de mantener, al tomar esa opción de "$\delta$".

Así que hasta este punto hemos dejado muy claro que el $\delta$ depende de $\epsilon$.

Ahora vamos un paso más allá, y nos preguntamos qué sucede si alguna de las $\epsilon$ nos es dado como un desafío? Bien, claramente, en muchos casos, el $\delta$ se encontró en la primera instancia no funcionan en cada momento, por lo que debemos tener para encontrar un nuevo $\delta$.

Y en este sentido de nuevo $\delta$ depende de $\epsilon$.

Ahora nos damos cuenta de que debemos encontrar una relación entre el$\delta$$\epsilon$.

Así que en el sentido común $\delta$ es una función de $\epsilon$, pero la "variable" $\epsilon$, sólo cambia cuando nos entregó un nuevo "reto" o de la situación, en lugar de sobre un dominio general, es decir, algo así como un intervalo que es mucho más fácil de imaginar.

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