Mostrar $H=\{\log a : a\in \Bbb Q, a>0\}$ es un subgrupo de $\left \langle \Bbb R,+ \right \rangle$

Question

El problema: Sea $G=\left \langle \Bbb R,+ \right \rangle$ y $H=\{\log a : a\in \Bbb Q, a>0\}$

Demuestra que $H$ es un subgrupo de $G$ .

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Mi prueba:

L $\log a$ y $\log b$ sean elementos de $H$ donde $a,b \in \Bbb R$ y $a,b>0$ . Entonces $\log a + \log b=\log ab \in H$ desde $ab\in \mathbb Q$ y $ab>0$ . Así $H$ está cerrado.

L $-\log a =\log a^{-1} =\log({1\over a}) \in H$ entonces $\log a + (-\log a)=\log a - \log a=0$ . Así $-\log a \in H$ y $H$ tiene inversos aditivos y $H$ es un subgrupo de $G$ .

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Nota: Estoy tratando específicamente de probar $H$ es un subgrupo demostrando $H$ es cerrado y tiene inversos. ¿Qué pasaría con este resultado si $a$ sólo podía ser un número natural?

Answer 1

Más o menos, esta prueba es correcta. Mi principal crítica es con su redacción de mostrar los inversos. Deberías decir

L $\log a \in H$ . Entonces [...] y así $-\log a$ (la inversa de $\log a$ en $+$ ) está en $H$ .

Tal como está redactado, parece presuponer que este inverso está en $H$ . Podrían surgir otros problemas, como (a menos que sepa $\left \langle \Bbb R,+ \right \rangle$ es un abeliano grupo específicamente) necesitando mostrar las obras inversas en cada lado.

Además, una cosa menor: usted debe tener que $\log a, \log b \in H$ porque $a,b$ están específicamente en $\Bbb Q^+$ (es decir, son racionales positivos, no sólo números reales). Tal vez también valga la pena señalar que usted está asumiendo $\Bbb R, \Bbb Q$ son campos en esta prueba, con las propiedades habituales - por ejemplo, suponiendo que $a,b \in \Bbb Q \implies a \cdot b \in \Bbb Q$ .

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Además, tenga en cuenta que puede utilizar la función prueba de subgrupos de un paso en su lugar para una prueba un poco más hábil, en el sentido de que

$$\log a + (- \log b) = \log \left( \frac a b \right)$$

que se encuentra en $H$ desde $a,b > 0 \implies b \ne 0$ y $a/b > 0$ .

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¿Qué ocurriría con este resultado si $a$ sólo podía ser un número natural?

Entonces no funcionaría ya que no tienes inversos para cada elemento. Por ejemplo, $2 \in \Bbb N \implies \log 2 \in H$ pero tiene inversa

$$-\log 2 = \log \left( \frac 1 2 \right)$$

que no está en $H$ ya que $1/2 \not \in \Bbb N$ .