Más o menos, esta prueba es correcta. Mi principal crítica es con su redacción de mostrar los inversos. Deberías decir
L $\log a \in H$ . Entonces [...] y así $-\log a$ (la inversa de $\log a$ en $+$ ) está en $H$ .
Tal como está redactado, parece presuponer que este inverso está en $H$ . Podrían surgir otros problemas, como (a menos que sepa $\left \langle \Bbb R,+ \right \rangle$ es un abeliano grupo específicamente) necesitando mostrar las obras inversas en cada lado.
Además, una cosa menor: usted debe tener que $\log a, \log b \in H$ porque $a,b$ están específicamente en $\Bbb Q^+$ (es decir, son racionales positivos, no sólo números reales). Tal vez también valga la pena señalar que usted está asumiendo $\Bbb R, \Bbb Q$ son campos en esta prueba, con las propiedades habituales - por ejemplo, suponiendo que $a,b \in \Bbb Q \implies a \cdot b \in \Bbb Q$ .
Además, tenga en cuenta que puede utilizar la función prueba de subgrupos de un paso en su lugar para una prueba un poco más hábil, en el sentido de que
$$\log a + (- \log b) = \log \left( \frac a b \right)$$
que se encuentra en $H$ desde $a,b > 0 \implies b \ne 0$ y $a/b > 0$ .
¿Qué ocurriría con este resultado si $a$ sólo podía ser un número natural?
Entonces no funcionaría ya que no tienes inversos para cada elemento. Por ejemplo, $2 \in \Bbb N \implies \log 2 \in H$ pero tiene inversa
$$-\log 2 = \log \left( \frac 1 2 \right)$$
que no está en $H$ ya que $1/2 \not \in \Bbb N$ .
