Isometría local que no es mapa de cobertura

Question

El teorema de Ambrose establece que dada una isometría local entre dos variedades riemannianas conexas $(M, g)$ y $(N,h)$ si $M$ está completo, entonces $f$ es una cobertura.

Me preguntaba por qué es necesaria la completitud y estaba intentando construir una isometría local que no sea un recubrimiento hasta que me di cuenta de que no conozco muchos ejemplos de isometrías locales, sobre todo en variedades no completas como el plano puntuado.

¿Alguien conoce algunos ejemplos?

Cualquier ayuda será bienvenida, gracias de antemano.

Answer 1

Creo que la condición de isometría local te dice que tu mapa tiene el tipo de propiedad de cobertura local que está realmente en el corazón de los espacios de cobertura. El problema es que el mapa puede no ser suryectivo. Por ejemplo, tomemos el mapa de inclusión del plano perforado en el plano. Se trata claramente de una isometría local, pero no es suryectiva. Por lo tanto, el mapa no tiene la propiedad de cobertura cerca del origen $(0,0)$ en el codominio.

Así que, en realidad, deberías pensar en las isometrías locales como si fueran espacios de cobertura. Al fin y al cabo, si sólo completáramos el dominio y el codominio y extendiéramos unívocamente el mapa $f$ , tú sería tienen un espacio de cobertura.