Álgebra de Lie compleja simple de 3 dimensiones

Question

Si sabemos que un álgebra de Lie tridimensional $L$ con $[L,L]=L$ es simple.

Cómo demostrar que la única (hasta isomorfismo) álgebra de Lie compleja tridimensional $L$ con $L=[L,L]$ es $sl_2(\mathbb C)$ ?

Answer 1

Sea $(e_1,e_2,e_3)$ sea una base de $L$ . Desde $[L,L]=L$ , $$(f_1,f_2,f_3):=([e_2,e_3],[e_3,e_1],[e_1,e_2])$$ es de nuevo una base de $L$ . Por lo tanto, podemos escribir $f_i$ como combinaciones lineales de los $e_i$ es decir, $f_i=\sum a_{ij}e_j$ con matriz de coeficientes invertible $A=(a_{ij})$ . Se comprueba que $A$ debe ser simétrica, y que toda matriz simétrica invertible $A$ determina un álgebra de Lie $L_A$ . Entonces dos álgebras de Lie $L_A$ y $L_B$ son isomorfas si y sólo si existe una matriz $M\in GL_3(\mathbb{C})$ tal que $$B=\det(M)(M^{-1})^tAM^{-1}.$$ En otras palabras, $L_a$ y $L_B$ son isomorfas si y sólo si $A$ y $B$ yacen en el mismo $G$ -órbita bajo la acción de $G:=\mathbb{C}^*\times GL_3(\mathbb{C})$ dada por $(t,C)A=tCAC^T$ en el espacio de simétricas $3\times 3$ matrices. Por álgebra lineal (teorema del eje principal), el sistema de representantes es sólo la identidad. Por tanto, sólo existe un álgebra de Lie compleja simple de dimensión $3$ (sólo necesitamos que $L$ es perfecta, porque en dimensión $3$ esto significa simplicidad).