Sea $X$ sea una variedad lisa de dimensión finita, $\mathcal C^\infty(X)$ su álgebra de funciones suaves, $V\to X$ un haz vectorial liso de dimensión finita, y $\Gamma(V)$ el espacio de secciones lisas de $V$ . En particular, $\Gamma(V)$ es un $\mathcal C^\infty(X)$ -módulo. Estoy interesado en $\mathcal C^\infty(X)$ -submódulos $D \subseteq \Gamma(V)$ .
Es $D$ necesariamente finitamente generada como $\mathcal C^\infty(X)$ -¿Módulo?
Si $X$ no es compacto (¿o tal vez sí?), entonces $\mathcal C^\infty(X)$ no es noetheriano. Así que no es cierto que los submódulos de módulos arbitrarios finitamente generados sean finitamente generados. Así que supongo que la respuesta a mi pregunta es "no", pero me cuesta encontrar un contraejemplo.
En realidad, lo que quiero es que $D$ para recibir un ( $\mathcal C^\infty$ -lineal) de $\Gamma(W)$ para algún haz vectorial de dimensión finita $W$ . Si $X$ no es compacto, entonces creo que sigue siendo el caso (utilizando particiones de la unidad) que $\Gamma(W)$ es globalmente finitamente generada (la idea es encontrar una cubierta para la que cada abierto interseca sólo finitamente muchos otros en la cubierta, y luego duplicar los generadores). Pero si no lo es, la verdadera pregunta que quiero hacer es la que tiene la palabra "localmente" en todos los lugares necesarios.
