¿Por qué $|T^{*}T|\geq |T|^2$ para la norma del operador?

Question

Me gustaría saber cómo probar que $|T^{*}T|=|T|^2$ . Sé que es $\leq$ desde $|T|=|T^{*}|$ pero no sé cómo demostrar la desigualdad inversa. Gracias.

Answer 1

Podemos demostrar la igualdad directamente observando que $T^*T$ es un operador autoadjunto, y por tanto

$$ \|T^*T\|=\sup_{\|x\|=1}\vert\langle x,T^*Tx\rangle\vert=\sup_{\|x\|=1}\vert \langle Tx,Tx\rangle\vert=\|T\|^2 $$

Answer 2

Como alternativa a la solución de icurays1, en la que necesitas saber que la primera igualdad de su prueba se cumple, aquí tienes una forma directa:

$$\|Tx\|^2=\langle Tx,Tx\rangle=\langle T^*Tx,x\rangle\leq \|T^*T\|\, \|x\|^2$$

Entonces $$ \|T\|^2=\sup\{\|Tx\|^2:\ \|x\|=1\}\leq\|T^*T\| $$