Cálculo del anillo de enteros de un campo numérico $K/\mathbb{Q}$ : Es $\mathcal{O}_K$ siempre igual a $\mathbb{Z}[\alpha]$ para algunos $\alpha$ ?

Question

Esta pregunta surgió de la necesidad de ver el comportamiento de división de los primos sobre una extensión de campos numéricos. Un criterio es el teorema de Kummer, que da la descomposición del primo base en una extensión, en función de un entero elegido que genera el anillo de enteros.

Pero mi pregunta es,

"¿Cómo se demuestra en general que para extensiones finitas $L / K$ existe un entero algebraico $\alpha \in L$ para que $K[\alpha] = \mathcal O_L$ ? "

Una pregunta relacionada es,

Si $L$ es el compositum de subcampos $K_1$ y $K_2$ en $K$ , entonces puede $\mathcal O_L$ se describa en términos de $\mathcal O_{K_1}$ y $\mathcal O_{K_2}$ ? Puede asumir cualquier condición adicional o incluso casos especiales como extensiones cuadráticas y cuádricas.

Answer 1

Si $K$ es un campo numérico, y existe $\alpha$ tal que $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]$ entonces $K$ se llama monogénico . El primer ejemplo de un campo numérico no monogénico se debe a Dedekind, quien demostró que para $K=\mathbb{Q}(\theta)$ donde $\theta$ es una raíz del polinomio cúbico $x^3-x^2-2x-8$ el anillo de enteros no satisface $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\delta]$ para cualquier $\delta$ . En lo que sigue, proporcionaré una prueba completa de esta afirmación.

Prueba de que $\mathcal{O}_K\neq \mathbb{Z}[\delta]$ para cualquier $\delta$ : En primer lugar, comprobamos que $f$ es efectivamente irreducible sobre $\mathbb{Q}$ . Como es un polinomio cúbico, si fuera reducible tendría una raíz racional, lo que es imposible por el teorema de la raíz racional. Sea $\eta=\frac{\theta^{2}+\theta}{2}$ , entonces calculando el determinante y las trazas, se observa que $\eta^{3}-3\eta^{2}-10\eta-8=0$ . Los elementos $1,\theta,\eta$ son independientes sobre $\mathbb{Q}$ desde $\theta$ no satisface un grado $2$ ecuación, y así $\mathbb{Z}\oplus\theta\mathbb{Z}\oplus\eta\mathbb{Z}$ es un subring de rango completo de $\mathcal{O}_{K}$ . Afirmo que $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}\oplus\theta\mathbb{Z}\oplus\eta\mathbb{Z}$ . Para demostrarlo, calculamos el discriminante.

Dejemos que $$ B=\left[\begin{array}{ccc} \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(1\right) & \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\theta\right) & \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\eta\right)\\ \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\theta\right) & \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\theta^{2}\right) & \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\theta\eta\right)\\ \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\eta\right) & \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\eta\theta\right) & \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\eta^{2}\right) \end{array}\right]. $$ Escribir $\theta$ y $\eta$ en la base $1,\theta,\theta^{2}$ , tenemos que $$ M_{\eta}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 4 & 1 & 1\\ 8 & 6 & 2 \end{array}\right],\ M_{\theta}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 8 & 2 & 1 \end{array}\right], $$ y a partir de esto encontramos que $$ M_{\theta}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 8 & 2 & 1 \end{array}\right],\ M_{\theta}^{2}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 8 & 2 & 1\\ 8 & 10 & 3 \end{array}\right],\ M_{\theta}M_{\eta}=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1\\ 8 & 6 & 2\\ 16 & 12 & 8 \end{array}\right],\ M_{\eta}^{2}=\left[\begin{array}{ccc} 6 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2}\\ 12 & 9 & 5\\ 40 & 22 & 14 \end{array}\right]. $$ De ello se desprende que $\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(1\right)=3$ , $\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\theta\right)=1$ , $\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\theta^{2}\right)=5$ , $\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\eta\right)=3$ , $\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\eta^{2}\right)=29$ , $\text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}\left(\theta\eta\right)=18$ , y así $$ B=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 3\\ 1 & 5 & 18\\ 3 & 18 & 29 \end{array}\right]. $$ Así, $$ \text{disc}_{K/\mathbb{Q}}\left(\mathbb{Z}\oplus\theta\mathbb{Z}\oplus\eta\mathbb{Z}\right)=\det B=-503. $$ Como $503$ es un número primo, esto implica que $\mathbb{Z}\oplus\theta\mathbb{Z}\oplus\eta\mathbb{Z}$ es igual al anillo de los números enteros, ya que en caso contrario debemos tener $\text{disc}_{K/\mathbb{Q}}\left(\mathbb{Z}\oplus\theta\mathbb{Z}\oplus\eta\mathbb{Z}\right)=m^{2}\text{disc}_{K/\mathbb{Q}}\left(\mathcal{O}_{K}\right)$ para algún número entero $m>1$ .

Ahora, dejemos que $\delta=a+b\theta+c\eta$ sea un elemento general de $\mathcal{O}_{K}$ . Nuestro objetivo es demostrar que $2|\text{disc}\left(\mathbb{Z}[\delta]\right)$ . La matriz para $M_{\delta}$ en la base $1,\theta,\eta$ , es igual a

$$ M_{\delta}=\left[\begin{array}{ccc} a & b & c\\ 4c & a-b & 2b+2c\\ 4b+6c & 2c & a+2b+3c \end{array}\right]. $$ Reduciendo el módulo $2$ tenemos que $$ M_{\delta}\equiv\left[\begin{array}{ccc} a & b & c\\ 0 & a-b & 0\\ 0 & 0 & a+c \end{array}\right]\text{ mod }2. $$ Como este es triangular superior, se deduce que $$ \text{Tr}\left(M_{\delta}^{k}\right)\equiv a^{k}+(a-b)^{k}+(a+c)^{k}\text{ mod }2. $$

$$ \equiv a-b+c\text{ mod 2}. $$ Ahora bien, si $a-b+c\equiv0\text{ mod }2$ entonces la última columna de la matriz $$ A=\left[\begin{array}{ccc} \text{Tr}\left(1\right) & \text{Tr}\left(\delta\right) & \text{Tr}\left(\delta^{2}\right)\\ \text{Tr}\left(\delta\right) & \text{Tr}\left(\delta^{2}\right) & \text{Tr}\left(\delta^{3}\right)\\ \text{Tr}\left(\delta^{2}\right) & \text{Tr}\left(\delta^{3}\right) & \text{Tr}\left(\delta^{4}\right) \end{array}\right] $$ tiene cada entrada divisible por $2$ y por lo tanto $\text{disc}_{K/\mathbb{Q}}\left(\mathbb{Z}[\delta]\right)=\det A$ es divisible por $2$ . Si $a-b+c\equiv1\text{ mod }2$ , entonces cada elemento en $A$ es un número impar. Como este determinante es una suma sobre permutaciones en $S_{3}$ vemos que estamos sumando exactamente $3!=6$ Números Impares, y así el determinante es par. En cualquiera de los dos casos se deduce que $2|\det A$ también, y como $\text{disc}_{K/\mathbb{Q}}\left(\mathcal{O}_{K}\right)=-503$ , hemos demostrado que $\mathcal{O}_{K}\neq\mathbb{Z}[\delta]$ para cualquier $\delta\in\mathcal{O}_{K}$ .