Calcular la probabilidad de los nodos de un grafo

Question

Tengo el siguiente gráfico:

A y F publican el mismo chiste en Facebook. Ahora hay una probabilidad de 0,6 de que el nodo b también publique el chiste. y así sucesivamente...

Así, los pesos de las aristas indican la probabilidad de que este nodo publique el chiste si el nodo anterior lo publicó.

Ahora me pregunto cuántos de los nodos habrán publicado este chiste de media después de 4 Timesteps.

¿Alguien puede ayudarme con esto? Soy muy nuevo en la teoría de la probabilidad.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Lo he hecho por las malas, con extensos diagramas de árbol y excel...

b es fácil. Sólo a se alimenta de ella (el bucle de retroalimentación de c es irrelevante). Así que la probabilidad de que se haya contabilizado es simplemente 1-0,4^4 = 0,9744.

c es ligeramente más difícil. Todas las opciones para llegar a c en 4 o menos pasos: (ab y bc son aristas. n = sin conexión)

• ab bc (0,6*0,1)
• ab nbc bc (0,6*0,9*0,1)
• ab nbc nbc bc (0,6*0,9*0,9*0,1)
• nab ab bc (0,4*0,6*0,1)
• nab ab nbc bc (0,4*0,6*0,9*0,1)
• nab nab ab bc (0,4*0,4*0,6*0,1)

Todos estos sumados hacen 0,2178

h se parece un poco a c, por supuesto. g sólo puede alcanzarse cuando b, c y h se contabilizan, por lo que es 0,4*0,1*0,5*0,4 = 0,012.

Los diagramas de árbol de d y e son bastante complejos, porque se alimentan de dos extremos. Hay 53 caminos diferentes para f y d a través de los cuales se puede llegar a e. Por ejemplo:

• ab nfd nbe nfd bd nbe nde nbe de (en el que d comparte el post de b. e espera un periodo de tiempo para compartir ese post).
• nab fd nab nde nab de (en el que d vuelve a publicar el de f, pero b nunca lo comparte. e espera un periodo de tiempo para compartir el post de d.)
• nab nfd nab nfd ab fd be (en el que b y d comparten el post después de esperar 2 periodos, entonces e vuelve a publicar el post de b.)

Esto llevó mucho tiempo y una gran hoja. Por desgracia, no sé cómo hacerlo más rápido. Sospecho que las matrices podrían servir, pero no estoy muy familiarizado con ellas.

Creo que las probabilidades son las siguientes:

• a. 100%
• b. 97,4%
• c. 21,8%
• d. 86,2%
• e. 60,6%
• f. 100%
• g. 1,2%
• h. 8,4%