¿Cómo puedo demostrar que $\frac{1}{45}<\sin^{2020}(\frac{\pi}4)<\frac{2}{45}?$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $$\frac{1}{45}<\sin^{2020}\left(\frac{\pi}4\right)<\frac{2}{45},$$ donde $\sin^n$ denota la composición de la función seno consigo misma $n$ veces. Por ejemplo, $$\sin^3(x) = \sin(\sin(\sin(x))).$$

¿Existen relaciones entre $45$ y $\sin x?$ o hay alguna forma de calcular una aproximación

Answer 1

Sea $x_n = \sin _n \left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ donde el subíndice $n$ indica el número de veces $\sin$ se itera. Dejo como ejercicio demostrar que $$ 1 + \frac{{x^2 }}{3} \leq \left( {\frac{{x }}{{\sin x }}} \right)^2\leq 1 + \frac{{x^2 }}{2} $$ para $|x|\leq 1$ . Con estas desigualdades $$ \frac{1}{{x_{n + 1}^2 }} = \frac{1}{{(\sin x_n )^2 }} = \frac{1}{{x_n^2 }}\left( {\frac{{x_n }}{{\sin x_n }}} \right)^2 \geq \frac{1}{{x_n^2 }} + \frac{1}{3} $$ y $$ \frac{1}{{x_{n + 1}^2 }} = \frac{1}{{(\sin x_n )^2 }} = \frac{1}{{x_n^2 }}\left( {\frac{{x_n }}{{\sin x_n }}} \right)^2 \leq \frac{1}{{x_n^2 }} + \frac{1}{2}. $$ Así $$ \frac{{n - 1}}{3} \leq \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{1}{{x_{k + 1}^2 }} - \frac{1}{{x_k^2 }}} \right)} = \frac{1}{{x_n^2 }} - \frac{1}{{x_1^2 }} = \frac{1}{{x_n^2 }} - 2 $$ y $$ \frac{{n - 1}}{2} \geq \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {\frac{1}{{x_{k + 1}^2 }} - \frac{1}{{x_k^2 }}} \right)} = \frac{1}{{x_n^2 }} - \frac{1}{{x_1^2 }} = \frac{1}{{x_n^2 }} - 2. $$ Por lo tanto, $$ \sqrt {\frac{2}{{n + 3}}} \leq x_n \leq \sqrt {\frac{3}{{n + 5}}} . $$ En particular, $$ \frac{1}{{45}} < \sqrt {\frac{2}{{2023}}} \leq x_{2020} \le \sqrt {\frac{3}{{2025}}} < \frac{2}{{45}}. $$