Sea $w$ sea una función suave con soporte compacto. Me interesa estmatar $\sum_{q \leq Q, n \in \mathbb{Z}} w(n/q)$ como $Q \to \infty$ . Aplicando la fórmula sumatoria de Poisson podemos deducir $$ \sum_{q \leq Q, n \in \mathbb{Z}} w(n/q) = \frac12 \hat{w}(0) + O(Q). $$ Me preguntaba si es posible obtener un término secundario para una muy agradable de elección de $w$ ? Agradeceré cualquier comentario. Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$\sum_n w(x+n)=\sum_k \hat{w}(k) e^{2i\pi kx}$$ entonces $$\sum_{q=1}^Q \sum_n w(n/q)=\sum_{q=1}^Q \sum_{m=0}^{q-1}\sum_k \hat{w}(k) e^{2i\pi k m/q}=\sum_{q=1}^Q \sum_k \hat{w}(k) \sum_{m=0}^{q-1} e^{2i\pi k m/q}$$
$$= \sum_{q=1}^Q \sum_{k, q|k} \hat{w}(k) q= \frac{Q(Q+1)}{2}\hat{w}(0)+\sum_{k\ne 0} \hat{w}(k) \sum_{q| k,q\le Q}q$$ $$ = \frac{Q(Q+1)}{2}\hat{w}(0)+\sum_{k\ne 0} \hat{w}(k) \sigma_1(k)+O(\sum_{|k|\ge Q} |\hat{w}(k)| \sigma_1(k))$$ Desde $\hat{w}$ es rápidamente decreciente, para cualquier $r>1$ es $$ = \frac{Q(Q+1)}{2}\hat{w}(0)+\sum_{k\ne 0} \hat{w}(k) \sigma_1(k)+O(\sum_{|k|\ge Q} k^{-r})$$ $$=\frac{Q(Q+1)}{2}\hat{w}(0)+\sum_{k\ne 0} \hat{w}(k) \sigma_1(k)+O(Q^{1-r})$$
