Encontrar $N$ de un límite de una sucesión para un $\epsilon$

Question

La fórmula que obtuve para la suma ( $\sum_{j=1}^k \frac{1}{2^j}$ ) es $$A(n) = 1 - \frac{1}{2^n}$$ Quiero demostrar que $$\forall \epsilon, \exists N \geq 0 \text{ such that } n \geq N \text{ implies } |A(n) - 1| < \epsilon$$ Ahora pude obtener lo siguiente $$|1 - \frac{1}{2^n} - 1| < \epsilon \implies |-\frac{1}{2^n}| < \epsilon \implies |\frac{1}{2^n}|< \epsilon$$ . ¿Cómo puedo encontrar la N necesaria para completar la prueba? Hasta ahora he hecho lo siguiente $$2^n > \frac{1}{\epsilon}$$ ¿Cómo puedo aislar el $n$ ?

Answer 1

$2^n > \frac 1\epsilon$

$n > \log_2 \frac 1\epsilon$ .

por lo que si $N = \log_2 \frac 1\epsilon$ entonces

Si $n > N = \log_2 \frac 1\epsilon$ entonces $2^n >2^N = 2^{\log_2\frac 1\epsilon}=\frac 1\epsilon$ y $0 < \frac 1{2^n} < \epsilon$ y $|(1-\frac 1{2^n} )- 1| < \epsilon$ . Y así $\lim\limits_{n\to \infty} (1-\frac 1{2^n})=1$ .

Answer 2

Opción:

$\frac{1}{2^n} <\epsilon;$

Expansión binomial:

$2^n=(1+1)^n>1+n(1)>n;$

Principio de Arquímedes:

Hay un $n_0 \in \mathbb{Z^+}$ s.t.

$n_0 >1/\epsilon;$

Para $n\ge n_0: $

$\frac{1}{2^n}>\frac{1}{n}\le \frac{1}{n_0} <\epsilon.$