Para todos $n\in\Bbb N$ ¿existe $n_1$ y $n_2$ tal que $d(n_1) +d(n_2)=n$

Question

Estoy tratando de demostrar que para cada número entero positivo, $n$ podemos encontrar enteros $n_1,n_2$ que satisfagan $$d(n_1) +d(n_2)=n$$ donde $d(n)$ es la función divisora. Estoy frustrado porque incluso con problemas fáciles de teoría de números como éste soy incapaz de ver qué hacer o cómo enfocarlo. Sé que si $$n_1=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_s^{\alpha_s}$$ donde $p_i$ son primos distintos, entonces $$d(n_1)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_s+1)$$ pero no veo cómo ampliar esto y añadir $d(n_2)$ para obtener el número entero positivo $n$ . Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $n\in\Bbb N$ . Entonces, si $n=1$ esto es imposible ya que $d(k)\ge 1$ Así que $d(n_1)+d(n_2)\ge 2$ Sin embargo, para $n\ge 2$ deje $n_1=2^{n-2}$ y $n_2=1$ . Entonces $d(n_1)=(n-2+1)=n-1$ y $d(n_2)=1$ por lo que tenemos

$$d(n_1)+d(n_2)=n-1+1=n$$

como desee.