Demostrando que esta función es infinitamente diferenciable

Question

Demuestre que la función

$$ \mathcal E: \mathbb R \to \mathbb R: x \mapsto \begin{cases} \exp(-\frac{1}{x^2}), & \text{if x $\neq$ 0}, \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases} $$

es infinitamente diferenciable y que $\frac{d^k\mathcal E}{dx}(0) = 0$ para todos $k \in \mathbb N$ .

Acabamos de introducir la diferenciación, por lo que la solución no debería contener técnicas muy avanzadas para resolverlo. También tenemos la punta debe hacerse por inducción.

@fgp He encontrado que es $$f^{(n)}(x) = P_n \left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}$$ donde $P_n$ es un polinomio con coeficientes enteros.

También podría hacer el paso inicial para la inducción:

Para $n=1:$ $$f'(x) = \frac2{x^2}e^{-\frac1{x^2}} = P_1 \left(\frac1t\right) e^{-\frac1{x^2}}$$ donde $P_1(x)=2x^2.$

Estoy atascado en el paso de inducción: $f^{(n+1)}(x) = $ .....

Answer 1

(Esto es más una pista que una respuesta completa) Tenga en cuenta que

$$ \begin{align*} \frac{d\mathcal{E}}{dx}(0) &= \lim \limits_{\substack{x \to 0 \\ x \neq 0}} \frac{\mathcal{E}(x)-\mathcal{E}(0)}{x} \\ &= \lim \limits_{\substack{x \to 0 \\ x \neq 0}} \frac{1}{x} \exp \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\[2mm] &= 0 \end{align*}$$

Así que.., $\mathcal{E}'(0)=0$ . Además, tenemos :

$$ \begin{align*} \frac{d^{2}\mathcal{E}}{dx^{2}}(0) &= \lim \limits_{\substack{x \to 0 \\ x \neq 0}} \frac{\mathcal{E}'(x)-\mathcal{E}'(0)}{x} \\ &= \lim \limits_{\substack{x \to 0 \\ x \neq 0}} \frac{2}{x^{2}} \exp \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\[2mm] &= 0 \end{align*}$$

Así que.., $\mathcal{E}''(0)=0$ . Creo que has captado la idea : se puede demostrar (por inducción, por ejemplo) que, para todo $n \in \mathbb{N}^{\ast}$ existe un polinomio $P_{n}$ tal que

$$ \begin{align*} \frac{d^{n}\mathcal{E}}{dx^{n}}(0) &= \lim \limits_{\substack{x \to 0 \\ x \neq 0}} \frac{\mathcal{E}^{(n-1)}(x)-\mathcal{E}^{(n-1)}(0)}{x} \\ &= \lim \limits_{\substack{x \to 0 \\ x \neq 0}} P_{n} \left( \frac{1}{x} \right) \exp \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\[2mm] &= 0 \end{align*}$$

Answer 2

Desde $x \mapsto {1 \over x}$ es suave para $x \neq 0$ y $x \mapsto e^x$ es suave, está claro que $\cal E$ es suave para $x \neq 0$ .

Supongamos que $x \ne 0$ entonces ${\cal E}^{(k)}$ tiene la forma ${\cal E}^{(k)}(x) = e^{-{1 \over x^2}} p_k({1 \over x})$ para algún polinomio $p_k$ . Esto es claramente cierto para $k=0$ por lo que supongamos que es cierto para $k=0,...,n$ . Entonces ${\cal E}^{(n)}(x) = e^{-{1 \over x^2}} p_n({1 \over x})$ y la regla de la cadena da ${\cal E}^{(n+1))}(x) = {\cal E}^{(1)}(x) p_n({1 \over x}) - {\cal E}^{(0)}(x) p_n'({1 \over x}) ({1 \over x^2}) = e^{-{1 \over x^2}} ({2 \over x^3}p_n({1 \over x})-p_n'({1 \over x}) ({1 \over x^2}) )$ . Si $p_{n+1}(y) = 2 y^3p_n(y)-p_n'(y) y^2 $ entonces ${\cal E}^{(n+1))}(x) = e^{-{1 \over x^2}} p_{n+1}( {1 \over x} ) $ por lo que el resultado es cierto para todos $n$ .

Si $x \neq 0$ tenemos $e^{-{1 \over x^2}} = {1 \over {e^{1 \over x^2}}}$ y puesto que $e^{1 \over x^2} \ge \sum_{k=0}^n {1 \over k!} {1 \over x^{2k}}$ tenemos $e^{-{1 \over x^2}} \le {x^{2n} \over \sum_{k=0}^n {1 \over k!} {x^{2(n-k)}}} \le {x^{2n} \over n!}$ .

Supongamos que $p$ es un polinomio de grado $d$ . Entonces para cualquier $n$ vemos que hay alguna constante $K$ tal que $|e^{-{1 \over x^2}} p({1\over x})| \le K |x|^{2n-d}$ siempre que $0 <|x| \le 1$ . En particular, hay algunos $K$ tal que $|e^{-{1 \over x^2}} p({1\over x})| \le K x^2$ para todos $0 < |x| \le 1$ .

Tenemos ${\cal E}^{(0)}(x) \le x^2$ para todos $x$ y así ${\cal E}$ es continua en $x=0$ . Desde $|{\cal E}^{(0)}(x) - {\cal E}^{(0)}(0) -0| \le x^2$ vemos que ${\cal E}^{(0)}$ es diferenciable en $x=0$ y ${\cal E}^{(1)}(0) = 0$ .

Supongamos ${\cal E}^{(k)}$ es diferenciable en $x=0$ y ${\cal E}^{(k)}(0) = 0$ para $k=0,...,n$ . Entonces $|{\cal E}^{(n)}(x) - {\cal E}^{(n)}(0) -0| \le K x^2$ para algunos $K$ y $|x| \le 1$ . Por lo tanto ${\cal E}^{(n)}$ es diferenciable en $x=0$ y ${\cal E}^{(n+1)}(0) = 0$ .

Answer 3

Sea $S=\left\{x\mapsto P\left(\frac{1}{x}\right)\mathcal E(x)\mid P\in \Bbb R\left[X\right]\right\}$

¿Puede demostrar que $f\in S \implies f'\in S$ ?

¿Qué puede decir sobre $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ para $f \in S$ ?