$$\lim \limits_{n\to \infty }\sum _{k=0}^n\frac{C\left(n,\:k\right)}{k2^n+n}$$
He probado el teorema de Squeeze pero no ha funcionado.
Respuesta
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Desde $\sum_{k=0}^n C(n,k)^2=C(2n,n)\sim 4^n/\sqrt{\pi n}$ (véase aquí y aquí ) tenemos que $$\begin{align}\sum_{k=0}^n&\frac{C(n,k)}{k2^n+n}\le\sum_{k=0}^n\frac{C(n,k)}{k2^n}\stackrel *\le2^{-n}\left(\sum_{k=0}^n\binom nk^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=0}^n\frac1{k^2}\right)^{1/2}\\ &<2^{-n}\binom{2n}n^{1/2}\frac\pi{\sqrt 6}\sim\frac{2^{-n}2^n\pi}{\sqrt[4]{36\pi n}}\to 0\end{align}$$ donde la desigualdad $(*)$ es una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
