Unidad de esfera en $\mathbb{R}^\infty$ es contráctiles?

Question

Deje $\mathcal{T}_{\infty}= \left\{ U \subset \mathbb{R}^{\infty}: \ U \cap \mathbb{R}^n \in \mathcal{T}_n, \text{ for } n=1,2,... \right\} $. De curso $\mathcal{T}_{\infty}$ es la topología en $\mathbb{R}^{\infty}$. Cómo probar que $S^{\infty} = \{ v \in \mathbb{R}^{\infty} : \ \|v\|=1 \}$ es contráctiles?

:)

Podemos encontrar homeomorphism sin punto fijo de $D^{\infty} = \{ v \in \mathbb{R}^{\infty} : \ \|v\| \le 1 \}$ a $D^{\infty}$? Yo estaba tratando de encontrar tales homeomorphism, pero yo no...

Answer 1

Vas a encontrar una prueba de que las infinitas dimensiones de la esfera es contráctiles en la página 88 de Allen Hatcher Topología Algebraica amablemente alojado gratis por él en su página web.

La prueba da un explícito homotopy entre el mapa de identidad y la constante mapa en la esfera de la $S^{\infty}$.

Deje $f_t\colon\mathbb{R}^{\infty}\rightarrow \mathbb{R}^{\infty}$ ser dado por $f_t(x_1,x_2,\ldots)=(1-t)(x_1,x_2,\ldots)+t(0,x_1,x_2,\ldots)$. Para todos los $t\in[0,1]$, este mapa envía distinto de cero puntos a cero puntos, por lo $f_t/|f_t|$ es un homotopy desde el mapa de identidad en $S^{\infty}$ a la mapa $(x_1,x_2,\ldots)\mapsto (0,x_1,x_2,\ldots)$. A continuación definimos un homotopy de este mapa a la constante mapa en $(1,0,0,\ldots)$ mediante el establecimiento $g_t(x_1,x_2,\ldots)=(1-t)(0,x_1,x_2,\ldots)+t(1,0,0,\ldots)$. El homotopy es el dado por $g_t/|g_t|$. La composición de estos dos homotopies a continuación se da una homotopy desde el mapa de identidad a la constante mapa, y por lo $S^{\infty}$ es contráctiles.

Answer 2

Podemos observar que la $\mathbb{S}^{\infty}= \bigcup\limits_{n \geq 1} \mathbb{S}^n$ donde $\mathbb{S}^n$ está incluido en $\mathbb{S}^{n+1}$ gracias a $$(x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, \dots, x_n,0).$$ In particular, $\mathbb{S}^n$ is a subcomplex of $\mathbb{S}^{n+1}$ (esta construcción también se describe en Hatcher del libro).

Porque adjuntando $m$-celda no cambia el $n$-th homotopy grupo de al $m>n$, podemos deducir que $$\pi_n( \mathbb{S}^{\infty})= \pi_n(\mathbb{S}^{n+1})= 0, \ \forall n \geq 1.$$

Según el teorema de Whitehead, un débil contráctiles CW complejo es contráctiles. Por lo tanto, $\mathbb{S}^{\infty}$ es contráctiles.

Por supuesto, la prueba ofrecida por Daniel Óxido es mucho más elemental, pero me parece interesante ver cómo la adición de las células de la mata, sucesivamente, el homotopy grupos con el fin de hacer $\mathbb{S}^{\infty}$ contráctiles.