Integrales indefinidas con valores absolutos

Question

¿Cuál es la forma correcta de resolver integrales indefinidas que contienen valores absolutos? Por ejemplo, si tengo $\int |2x+3| e^x dx$
¿Puedo considerar la función de signo e integrarla por separado? Me refiero a hacer: $ Sign(2x+3) \int (2x+3)e^x dx$

O tal vez debería utilizar la definición de valor absoluto y dividir las dos posibilidades
$\int (2x+3)e^x dx$ si $ (2x+3)>0$ y $\int (-2x-3)e^x dx$ si $ (2x+3)<0$

Pero creo que eso es más adecuado para integrales definidas que indefinidas

¿Cómo puedo resolver este tipo de integrales? Muchas gracias por el consejo

Answer 1

CONSEJO: yo consideraría los casos $$2x+3\geq 0$$ o $$2x+3<0$$

Answer 2

$\int|2x+3|e^x~dx$

$=\text{sgn}(2x+3)\int(2x+3)e^x~dx$

$=\text{sgn}(2x+3)\int_{-\frac{3}{2}}^x(2x+3)e^x~dx+C$

$=\text{sgn}(2x+3)\int_{-\frac{3}{2}}^x(2x+3)~d(e^x)+C$

$=\text{sgn}(2x+3)[(2x+3)e^x]_{-\frac{3}{2}}^x-\text{sgn}(2x+3)\int_{-\frac{3}{2}}^xe^x~d(2x+3)+C$

$=\text{sgn}(2x+3)(2x+3)e^x-2~\text{sgn}(2x+3)\int_{-\frac{3}{2}}^xe^x~dx+C$

$=|2x+3|e^x-2~\text{sgn}(2x+3)[e^x]_{-\frac{3}{2}}^x+C$

$=|2x+3|e^x-2~\text{sgn}(2x+3)\left(e^x-e^{-\frac{3}{2}}\right)+C$