¿Qué hay de malo en utilizar rectángulos en lugar de triángulos en la prueba de Goursat?

Question

Estoy leyendo el artículo Sobre la demostración de Goursat del teorema integral de Cauchy escrito por Harald Hanche-Olsen. En un comentario histórico, el autor escribió que

Goursat presentó una prueba en 1884 para el caso de una curva cerrada simple, dividiendo el interior en pequeños cuadrados...

Moore depuró un poco la prueba, prestando más atención al tratamiento de la curva límite. También introdujo la idea actual de prueba por contradicción, subdividiendo y seleccionando siempre una parte en la que la conclusión deseada se viola al máximo, y aplicando después la definición de la derivada en el punto límite resultante.

Pringsheim presentó una crítica más severa al tratamiento de la curva límite por parte de Goursat en 1901. Señaló que estos problemas desaparecen si la técnica de demostración se aplica a una figura geométrica simple, como un triángulo.

Dado que algunos libros de texto modernos (como Bak y Newman, Cartan o Beardon) sí utilizan rectángulos para presentar la prueba de Goursat, no entiendo cuál es el problema con los rectángulos. ¿A qué se debe la crítica de Pringsheim? ¿Está justificada su crítica? ¿Está bien utilizar rectángulos?

Answer 1

Creo que estás malinterpretando esto. Tal y como yo lo interpreto, lo que dice es que la técnica de demostración de subdividir en rectángulos funciona bien si la curva límite es un triángulo, pero que se necesita un argumento adicional para pasar de ahí a una curva límite más general: "Entonces el teorema se sigue para trayectorias poligonales simples en un dominio simplemente conectado triangulando el interior de la trayectoria, y finalmente se obtiene para una trayectoria general aproximándola por trayectorias poligonales."